《編譯原理》LR 分析法與構造 LR(1) 分析表的步驟 - 例題解析

《編譯原理》LR 分析法與構造 LR(1) 分析表的步驟 - 例題解析

筆記

直接作題是有一些特定步驟，有技巧。但也必須先了解一些基本概念，本篇會經過例題形式解釋概念，會容易理解和記憶，以及解決相似問題。

若是隻想作題能夠直接下拉至習題部分。

（一）關於狀態

對於產生式 A→aBcD，就能夠分解爲下面幾個不一樣的識別狀態：

（1）A→.aBcD
（2）A→a.BcD
（3）A→aB.cD
（4）A→aBc.D
（5）A→aBcD.

「.」 的左部符號表示已被識別出來的那部分句柄符號

狀態（1）表示：處於句柄的頭
狀態（2）表示：已經識別出字符 a，等待 造成以 B 爲產生式左部的右部
狀態（3）表示：剛剛進行了一次規約，即把關於 B 的產生式右部規約成 B
狀態（4）表示：已經識別出字符 c，等待 造成以 D 爲產生式左部的右部
狀態（5）表示：已經到達句柄的尾巴，能夠把 aBcD 規約爲產生式左部的符號 A

（二）什麼是 LR(k) 分析法？

字面意思理解：

字符	含義
L	表示 從左到右 掃描輸入串
R	表示利用 最右分析方法 來識別句子，即構造一個 最右推導的逆過程
k	表示向右查看輸入串符號的個數

LR 分析過程是規範歸約的過程

規範規約是最右推導的逆過程，最右推導是規範推導，因此 最左規約是規範規約。

LR 分析法根據當前分析棧中的符號串和向右順序查看輸入串的 k 個符號就能夠惟一肯定分析器的動做是移進仍是歸約、利用那個產生式進行歸約。

當沒有指明 k 是幾的時候，默認爲 1

（三）文法的拓廣？

文法的拓廣是對現有文法，添加一個 S'，並對文法進行展開。

例如：

對於文法 G[E]:
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)

能夠把它拓廣爲

文法 G[E']:
E' → E
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)

此時可能會有疑問，不就是加了個開始符號，有什麼意義呢？爲何要再加個開始符號呢？

加開始符號是爲了狀態的表示，這樣原來的 S 會成爲右部，能夠表示 .S 和 S.

那同一非終結符的右部有多種狀況爲何不展開呢？

這裏是說拓廣文法，是添加開始符號，能夠展開能夠不展開，可是通常默認要展開，通常一道題不會只讓求拓廣文法，而是爲了後面。通常題目中是說 「求該文法的拓廣文法並編號」，此時請必定要展開。展開後應該是這樣：

1.E'→E
2.E → E+T
3.E → T
4.T → T*F
5.T → F
6.F → i
7.F → (E)

（四）什麼是項目？項目有哪些分類？等價狀態？

上面提到拓廣文法，展開，以及編號。

先看例題：

對於文法 G[S]:
S → vI:T
I → I,i
I → i
T → r

能夠把它拓廣並編號，以下：

文法 G[S']:
1.S' → S
2.S → vI:T
3.I → I,i
4.I → i
5.T → r

它的所有 LR(0) 項目，以下：

1.S' → .S
2.S' → S.
3.S → .vI:T
4.S → v.I:T
5.S → vI.:T
6.S → vI:.T
7.S → vI:T.
8.I → .I,i
9.I → I.,i
10.I → I,.i
11.I → I,i.
12.I → .i
13.I → i.
14.T → .r
15.T → r.

對上面 LR(0) 項目進行分類

類型	包含	特色
規約項目	2, 7, 11, 13, 15	. 在右部的末尾
接收項目	2	. 在開始符號的末尾
移進項目	3, 5, 9, 10, 12, 14	. 後面跟着終結符，表移進
待約項目	1, 4, 6, 8	. 後面跟着非終結符，表等待後面非終結符的規約，簡稱待約

誰和誰是等價狀態？

例如：

待約項目 4 即 S→v.I:T 它的含義是等待棧頂規約出 I，但還沒有識別對應 I 的那些句柄的任何符號；

項目 8 即 I→.I,i 和項目 12 即 I→.i 的含義也是期待棧頂造成 I 的句柄，因此這三個項目的含義是同樣的，即 4, 8, 12 三個狀態是等價的。

同理：項目 6 即 S → vI:.T 和項目 14 即 T → .r 也是等價的

爲何它們是等價狀態？怎麼判斷等價狀態？

上面有說由於他們表示的含義是同樣的，而且會發現等價確定涉及至少一個待約項目，以及一個 . 在最左端的移進項目。

這是由於，待約項目是 . 後面跟非終結符，這個 . 是在非終結符的前面；當存在該非終結符的產生式時，且 . 在最左端的時候。由於 . 在最左端，其實也是至關於在該非終結符的前面。因此是一個等價的狀態。

（五）LR 分析表介紹

LR 分析器的關鍵部分是 分析表的構造。分析表有如下幾種：

規範的 LR 分析表：

• LR(0)，能力最弱，侷限性較大，但理論上最重要。
• LR(1)，它功能最強，但代價也最大。

簡單的 LR 分析表：

• 簡稱 SLR ，最容易實現，但功能最弱。

向前看的 LR 分析表：

• 簡稱 LALR，功能和代價處於前二者之間，適用於絕大多數程序語言的文法

總結： LR(0) 功能最弱，功能弱是說當文法中產生式比較複雜，出現某些問題時，沒法解決。這些問題一部分能夠由 SLR 分析法解決。但還有一部分 SLR 解決不了，能夠用 LR(1) 來解決。

（六）關於 「展望」

在規範歸約過程當中，一方面記住已移進和歸約出的整個符號串，即記住 「歷史」，另外一方面根據所用的產生式推測將來可能碰到的輸入符號，即對將來進行 「展望」。

當一串貌似句柄的符號串呈現於分析棧的頂端時，根據所記載的 「歷史」 和 「展望」 材料，來肯定棧頂的符號串是否構成句柄。

爲了記住分析的 「歷史」 和聚集 「展望」 的信息，LR 分析法這樣處理：

將歸約過程的 「歷史」 和 「展望」 材料綜合抽象成某些狀態，存放在一個狀態棧中，棧中每一個狀態都歸納了從分析開始直到某一歸約階段的所有「歷史」和「展望」材料。

LR(1) 分析法這樣處理：

首先，明白了在 LR(1) 分析法中展望是爲了解決其餘分析法解決不了的問題。簡單的說就是，狀態會出現衝突，咱們不能只經過後 1 個輸入串符號，直接肯定選用哪一個產生式，這是嚴重的錯誤。

因此 展望（向前搜索符） 是經過展望後面的內容，因此展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪一個個終結符，應該根據產生式的推導過程肯定，經過語法樹來分析，是比較直觀的方法。也能夠直接經過求該非終結符後的 FIRST 集來肯定，但要注意是對誰求 FIRST 集，可表示爲 FIRST(βa)，例題中會提到），來幫助惟一肯定選擇產生式。

拓展注：這裏提到的 FOLLOW 集和 FIRST 集不是衝突的，由於咱們要求的向前搜索符時 FOLLOW 集的子集，有時候不能肯定，因此用 FIRST(βa)， β 表示由誰哪一個非終結符推導的，這個非終結符的後面的剩餘串，a 表示它上一個狀態中的向前搜索符。它倆拼接起來的串，對該串求 FIRST 集。
那麼可能會有疑問，利用上一個狀態？那第一個狀態呢？第一個狀態是固定的 S'→S,#
其實 # 就是 S 的 FOLLOW 集中的惟一的元素，它也是開始符號的向前搜索符
因此說 FOLLOW 集和 FIRST(βa) 是均可以求的，FIRST(βa) 是準確的向前搜索符，它是 FOLLOW 集的一部分

在 LR(1) 中，用

狀態, 終結符
例如：S' → # （#表示開始符號FOLLOW集會提到那個符號，有的地方用 $，是同樣的 ）

這種形式是表式展望，終結符就是展望的後面的終結符，具體的下面例題中還會提到。

（七）終極例題 - LR(1) 分析表的構造

給定文法 G[S]：

S→L=R | R
L→*R | id
R→L

回答如下問題：

（1）文法的拓廣並編號
（2）LR(1) 項目集規範族所對應的識別活前綴的 DFA
（3）構造 LR(1) 分析表

解析：

1）文法的拓廣並編號：

拓廣文法 G[S']：

（0）S'→S
（1）S→L=R
（2）S→R
（3）L→*R
（4）L→id
（5）R→L

2）LR(1) 項目集規範族所對應的識別活前綴的 DFA*

這裏就涉及到 「展望」 這個知識點了

向前搜索符的 FIRST 集求法：

求法 FIRST(βa)

• β 表示由誰哪一個非終結符推導的，這個非終結符的後面的剩餘串
• a 表示它上一個狀態中的向前搜索符。

對於 I₀ ：
首先 S' → .S, # 這個是固定的，就是第一個狀態的核心項目
下面對 S 求向前全部符都沒問題，都是 #
到了 L→.*R，這裏，求向前搜索符，使用 FIRST(βa)
應該是求 FIRST(=R#) 因此就是 = 了

爲何是 =R#?

由於 β 表示由誰哪一個非終結符推導的，這裏就是上面狀態【S→.L=R, #】這個非終結符 L 的後面的剩餘串是 =R，a 表示它上一個狀態中的向前搜索符，就是 #，拼接起來就是 =R#。

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

該 DFA 有窮自動機的解釋：

（1）這樣表示形式就是自動機，每一個方框表示一個狀態，從 I₀ 到 I₁₃ 因此共有 14 個狀態。
（2）每一個狀態中包含的多個項目，都是等價的。
（3）每一個項目中逗號後面的終結符或者 # 表示展望的終結符。
（4）關於畫出 DFA 的步驟：

• 以 I₀ 爲例，首先對於 0 號產生式 S' → S，可知應該有 S' → .S 和 S' → S. 兩個狀態，由於 S' 是開始符號，展望是屬於 FOLLOW 集的，展望應該是 #，能夠得出 S' → .S, #
• 由於 .S 表示等待規約出 S 的狀態。而且 S→L=R，因此 .S 和 .L=R 是兩個等價的狀態。但須要注意的是此時的 FOLLOW 集應該 S 的 FOLLOW 集，而不是 L 的，也不 R 的
• 同理，由於有 S→R，則 .S 和 .R 是兩個等價的狀態。
• 有了 .R，應該繼續去找 R 爲左部的產生式，由於有 R→L，因此 .S 和 .L 是兩個等價的狀態。
• 注意： 在找 R 的展望終結符時，展望 是經過展望後面的內容，因此展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪一個個終結符，應該根據產生式的推導過程肯定，經過語法樹來分析，是最直觀的方法）

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

能夠看出來 R 的展望應該有兩種狀況，一個是 =，一種是 #

但此時，咱們經過 S → R 找到的 R，因此應該是 #

不斷循環經過，將 . 後移，判斷下一個狀態，找出等價狀態，直到判斷完成。

3）構造 LR(1) 分析表

根據自動機便可構造 LL(1) 分析表：

（圖片來源：中國大學慕課 -《編譯原理》哈爾濱工業大學 陳老師）

LL(1) 分析表解釋補充：

（1）內容 LL(1) 分析表 = 動做表 (ACTION) + 狀態轉移表(GOTO)

（2）動做表 中的每個元素 ACTION[S,a] 規定了當 棧頂狀態 爲 S，且面臨輸入符號 a 時應採起的動做。根據自動機中的終結符邊可判斷。

（3）狀態轉換表 中的每個元素 GOTO[S,x] 規定了當狀態 S 面對文法符號位 x 時的下一個狀態。根據自動機中的非終結符邊可判斷。

（4）動做表 的列對應全部終結符加上 #

（5）狀態轉換表 的列對應全部非終結符，不包括 S'，由於 S 就是開始符號，S' 是爲了使 「接收狀態」 易於識別，所引入的。

（6）動做表 中例如：

• ACTION[0, *] 的 S4 表示移進，入棧，就是當前狀態爲 0，當輸入串爲 ，則將狀態 4 移進狀態棧，將 移進文法符號棧
• ACTION[5, =] 的 r4 表示符合產生式 4，將棧頂符號 id 規約爲產生式左部
• acc 表示接收

（7）狀態轉換表 中例如：

• GOTO[0, S] 的 數字爲 1 表示轉入 1 狀態，置當前文法符號棧頂爲 S，棧頂狀態爲 1

（8）構造 LL(1) 分析表的步驟，重要 ！！！：

• 肯定對應行 ，行就是全部狀態
• 肯定對應列 ，列有兩部分 ACTION 表和 GOTO 表，ACTION 表中列是全部終結符，以及 #。 GOTO 表的對是全部非終結符，不包括 S'
• !!!GOTO 表的構造：判斷當前輸入串，若是存在自動機的邊，且邊爲非終結符就把狀態編號填入 GOTO 表

• !!!ACTION 表的構造：

  • 查找該狀態中是否有 . 在最後的狀態，若是有先根據向前搜索符肯定哪一列，再用 r_n，填入表示，r 的含義是規約，n 表示的是產生式的序號；若是沒有則說明沒有沒有 r
  • 判斷是否存在該狀態輸出的邊，若是存在則用 S_n 表示，S 表示移進，入棧，n 表示下一個狀態的序號

（9）上面也更深刻的瞭解了展望的意義，首先，展望是存在一個狀態中的，終結符，對應的應該爲是當前等價的狀態，操做也就應該是移進。若是是自動機的邊，就是說不是當前狀態了，因此對應的是規約。

---

總結

易錯點：

• 求 展望對應的終結符 是經過展望後面的內容，因此展望對應的終結符，應該 屬於該非終結符的 FOLLOW 集（確切的說，屬於 FOLLOW 集中的具體哪一個個終結符，應該根據產生式的推導過程肯定，經過語法樹來分析，是最直觀的方法）
• 各教材描述可能存在差別，但思想是相同的
  • 好比 $ 和 #
  • 好比展望終結的表示方法，有的分開寫，有的直接用或