DP的優化總結

時間 2019-11-06

標籤優化總結简体版

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1、預備知識

\(tD/eD\) 問題：狀態 t 維，決策 e 維。時間複雜度\(O(n^{e+t})\)。
四邊形不等式：php

稱代價函數 w 知足凸四邊形不等式，當:\(w(a,c)+w(b,d)\le w(b,c)+w(a,d),\ a < b < c < d\)
以下所示，區間一、2對應的 w 之和 ≤ 三、4之和html

\[ \underbrace {\overbrace {a \to \underbrace{b \to c}_3}^1 \to d }_4 \llap{\overbrace {\phantom{b\to c\to d}}^2} \]web

凸徹底單調性：

稱矩陣 \(A\) 凸徹底單調，當：
\(A(a,c)\ge A(b,c)\Rightarrow A(a,d)\ge A(b,d),\ a < b < c < d\)
以下所示，若是知足1區間對應的 w 比2大，那麼能夠推出3比4大。算法

\[ \overbrace {\overbrace {a \to b \to c}^1 \to d }^3 \llap{\underbrace {\underbrace{\phantom{b\to c}}_2\phantom{\to d}}_4} \]數據結構

由四邊形不等式能夠推出徹底單調性，反之不真。app

區間包含關係單調：w 知足\(w(b,c)\le w(a,d),a\le b\le c\le d\)。
決策單調性：\(r_j\)是使得矩陣A 第 j 列最小的行號。若\(A\)知足凸徹底單調性能夠推出\(r_1\le r_2 \le \cdots \le r_m\)，即最小值行號遞增。

2、優化方法

1. 利用決策單調性

轉移方程：\(f(j)=\min_{i < j}\{f(i)+w(i,j)\}\)ide

令 \(A(i,j)=f(i)+w(i,j)\)表示狀態 j 從上一列的第 i 行轉移過來的結果。函數

w知足凸四邊形不等式\(\Rightarrow\)w 是凸徹底單調的\(\Rightarrow A\)也是凸徹底單調的\(\Rightarrow\)決策單調。post

令 d(j) 表示最小的知足第 j 行比前面行優的列編號。優化

每一個決策（行）的做用範圍是相互鏈接且遞增的列區間，d(j)就是j做用區間的起點，好比：

111224444，d(1)=1,d(2)=4,d(4)=6

因爲決策單調，咱們用棧維護\(< d(j),j>\)。每次要作的就是：

二分找到d(j)在哪一個列區間，彈出後面的區間。
在這個列區間裏二分計算出d(j)
入棧

這樣就從\(O(n^2)\)優化到了\(O(n\log_2n)\)。

2. 分治優化

轉移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k-1)+w(k,j)\}\)

也是利用決策單調性。

令 d(i, j) 表示 f(i, j) 的最優決策。

\(d(i,j')\le d(i,j) ,j' < j\)

因而能夠在d(i, j) 前面的區間遍歷尋找d(i', j')。

咱們分治的過程 \(solve(opt_L,opt_R,l,r)\) 遍歷\(opt_L\)到\(opt_R\) 計算出中點\(m=(l+r)/2\) 的 d(i, m)。

那麼全部\(l\le x < m\) 的 d(i, x) 必定是在\([opt_L, d(i,m)]\)區間內，全部\(m < x\le r\)的d(i, x) 必定是在\([d(i,m),opt_R]\)區間內。
因此遞歸：

solve(optL,d[i][m],l,m-1);
solve(d[i][m],optR,m+1,r);

3. 單調隊列

轉移方程：\(\displaystyle f(i)=\min_{j=b[i]}^{i-1}\{g(j)\} + w(i)\)，\(b[i]\)隨 i 遞增。
若後面的一個決策更優，那麼前面的決策就能夠刪掉。所以單調隊列維護決策表：

隊首出隊，直到隊首符合範圍
此時隊首就是最優決策
計算出的 g(x)若是比隊尾優，不斷刪除隊尾，直到g(x)沒有更優，則插入隊尾。
\(O(n)\)

4. 斜率優化

轉移方程： \(f(i)=\min\{a_{i}\cdot x_{j} + b_{i} \cdot y_{j}\}\)

這是一種數形結合的思想。將每一個決策做爲一個點\((x_j,y_j)\)，畫在平面直角座標系中，因而咱們要找的是讓\(z=a_{i}\cdot x+ b_{i} \cdot y\) 最小的點。變形獲得\(y=-\frac {a_i}{b_i} \cdot x+\frac z {b_i}\)。也就是找一個點，斜率爲\(-\frac {a_i} {b_i}\)的直線通過該點時，縱截距最小。

能夠發現全部最優決策點在一個凸殼上。

若是斜率和 x 都單調，只要用單調隊列維護，隊尾的刪除是由於要維護凸性，隊首的刪除是由於決策點在凸殼上是單調移動的，當前隊首不是最優解，以後也不會是最優解。\(O(n)\)
不然，二分能夠找到最優決策點。將凸殼上的點連邊，斜率是單調遞增的，決策 i 插入時，先根據 x 二分找到插入點，而後兩邊進行 Graham 維護凸性，就是刪點。x 不單調時須要用平衡樹動態維護凸包。\(O(n\log_2n)\)
另外能夠用 cdq分治代替平衡樹來作。
斜率優化的題通常也能夠用分治優化作。

相關文章：
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5. 凸包優化（Convex Hull Trick）

轉移方程：\(f(i)=\min \{f(j)+b_j*a_i\}\)

其實至關於上式\(a_i=1,x_j=f(j),y_j=b_j,b_i=a_i\)，所以也能夠用斜率優化。

將每一個決策\(A(i,j)=\color{blue}{b_j}*a_i+\color{green}{f(j)}\)

做爲一條直線\(y=\color{blue} {m_j}*x+\color{green}{c_j}\)，當前狀態選擇的決策就是將\(x=a_i\)帶入全部直線，獲得最小值的那條直線。

咱們用棧維護有效（最小值可能出如今它上面）的直線。

若是\(b_j\)遞減，那麼至關於不斷加入一條斜率更小的直線，它和最後一條直線\(l_1\)的交點若是比\(l_1\)與\(l_2\)的橫座標要更小，則\(l_1\)無效了，從棧中彈出，反覆執行直到橫座標不更小或者只剩棧底，此時入棧。這個過程相似維護凸包。

若是\(a_i\)遞增，那麼每次最小值必定在最後一條直線上。因而複雜度是\(O(n)\)。

6. 凸包優化2

轉移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k)+b_k*a_j\}\)

i 固定時，每一個決策\(A(j,k)=\color{blue}{b_k}*a_j+\color{green}{f(i-1,k)}\)，做爲一條直線\(y=\color{blue} {m_k}*x+\color{green}{c_k}\)，那麼接下來同上。
故總得複雜度是\(O(kn)\)。

7. Knuth優化

轉移方程 \(f(i,j)=\min\{f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j)\)

若是 w 知足四邊形不等式和區間包含單調性，那麼 f 也知足四邊形不等式。
定義 f 取得最優值的決策：\(s(i, j)\)，若是 f 知足四邊形不等式，則 s 單調：\(s(i,j-1)\le s(i,j) \le s(i+1,j)\)

因而轉移方程改寫爲：

\(f(i,j)=\min\{ f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j), s(i,j-1)\le k\le s(i+1,j)\)

因爲這個狀態轉移方程枚舉的是區間長度L，假設求f(i,i+L),而每次循環長度之和爲

\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n-L}{s(i+1,i+L)-s(i,i+L-1)}\\ &=s(2,L+1)-s(1,L)+s(3,L+2)-s(2,L+1)+s(4,L+3)-s(3,L+2)..\\ &=s(n-L+1,n)-s(1,L)\le n-1 \end{aligned} \]

枚舉L是的\(O(n)\)，因而總的複雜度是\(O(n^2)\)。

Donald E. Knuth 從最優二叉搜索樹的數據結構中提出的。