LeetCode 尋找兩個有序數組的中位數

尋找兩個有序數組的中位數

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題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/submissions/

題目

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給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個有序數組的中位數，而且要求算法的時間複雜度爲 O(log(m + n))。

你能夠假設 nums1 和 nums2 不會同時爲空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

則中位數是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

解題思路

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1. 使用方法：遞歸；
2. 本題數組有序，要求中位數，但可將本題轉換爲求第 k 個最小數。若爲奇數，則第 k 位所在的數就是中位數；若爲偶數，則第 k 小的數與第 k + 1 小的數之和的一半就是中位數；
3. 由於數組是有序的，兩個數組比較求第 k 小的數，不需逐個比較，一個個剔除。能夠考慮一半一半的排除，每次排除 k/2 個數字。
4. 每次比較兩個數組中第 k/2 位數（當 k 爲奇數時，向下取整），當出現其中一個數組的值較小時，說明這個數組包括第 k/2 位數以及前面的數字都比第 k 位數小，直接剔除；此時 k 也要減去剔除數字的個數，遞歸執行這個步驟；
5. 遞歸跳出的條件，當其中一個數組爲空的時候，或者當 k 爲 1 的時候；
6. 當 k 爲 1 的時候，這時求第 1 小的數，只要比較兩個數組首位數字較小便是所求的中位數；
7. 當數組爲空，且 k 不等於 1 時，這個時候，取其中不爲空數組的第 k 小的數。

例子 1：

nums1： [1, 3, 5]
nums2： [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

這個例子中，假設要求的是第 6 小的數字。比較 k/2 也就是第 3 個數。

nums1 第 3 個數字爲 5，nums2 第 3 個數字爲 3，5 > 3，因此將下面數組的 3 個數字剔除掉，變成比較 [1, 3, 5] 與 [4, 5, 6, 7, 8]，這個時候剔除 3 個數字，因此 k 需減去 3，此時 k=3。繼續比較；

k/2 不能整除，向下取整，爲 1，比較兩個數組第一個數字，此時 1<4，剔除第一個數組的 1，剩下 [3, 5] 和 [4, 5, 6, 7, 8]，k 爲 3-1=2，再次比較；

k/2 爲 1，3<4，剔除第一個數組的 3，剩下 [5] 和 [4, 5, 6, 7, 8]，k 爲 2-1=1。

此時 k=1，也就是求第 1 小的數字，這個時候比較剩下兩個數組的首位數字，去較小的數字即爲第 1 小的數字，也就是 4。

例子 2：

這裏考慮數組長度小於 k/2 的狀況：

nums1: [1, 2]
nums2: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

一樣求第 6 小的數。

解題思路如 例子 1，先比較第 k/2 位數的大小，k/2=3。因爲第一個數組長度小於 3，這時直接取最末尾的數字 2，而第二個數組取第 3 位數，也就是 3，這裏 2<3，直接剔除第一個數組的兩個數字，k 則變爲 6-2=4。

因爲此時第一個數組爲空，因此這個時候直接取另一個數組第 k 小，也就是第 4 小數，也就是 4，便是原本要求的兩個數組中第 6 小的數字。

由於每次循環都會減小 k/2 個元素，因此時間複雜度是O(log(k))，而 k 在本題中就是 (m+n)/2，因此最終複雜度就是 O(log(m+n))。

代碼實現

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class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2) -> float:
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        # 這裏默認爲偶數狀況，若爲奇數，則計算兩次相同的 k 值
        med_left = (m + n + 1) // 2
        med_right = (m + n + 2) // 2

        return (get_k_num(nums1, 0, m-1, nums2, 0, n-1, med_left) + get_k_num(nums1, 0, m-1, nums2, 0, n-1, med_right)) / 2

def get_k_num(nums1, head1, end1, nums2, head2, end2, k):
        len1 = end1 - head1 + 1
        len2 = end2 - head2 + 1
        # 遞歸跳出條件
        if (len1 == 0):
            return nums2[head2 + k - 1]
        if (len2 == 0):
            return nums1[head1 + k - 1]
        if (k == 1):
            return min(nums1[head1], nums2[head2])
        
        i = head1 + min(len1, k // 2) - 1
        j = head2 + min(len2, k // 2) - 1

        if (nums1[i] > nums2[j]):
            return get_k_num(nums1, head1, end1, nums2, j + 1, end2, k - (j - head2 + 1))
        
        else:
            return get_k_num(nums1, i + 1, end1, nums2, head2, end2, k - (i - head1 + 1))

實現效果

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以上就是本篇的主要內容。

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吐槽： 本篇幅解題思路寫下來，回頭看的時候，發現純文字感受邏輯會有點亂，下次爭取結合圖例完善這部分的內容。

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