2018-2019 ACM-ICPC Nordic Collegiate Programming Contest (NCPC 2018)-E. Explosion Exploit-機率+狀壓dp

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【Problem Description】

我方有\(n\)我的，對方有\(m\)我的，每一個人都有一個健康值\(h_i\)，有\(d\)次攻擊，每次隨機從全部人中選\(1\)我的，減小其\(1\)健康值。問將對方全部人都消滅的機率是多少？

【Solution】

方法\(1\)：

​ 將全部人的健康值做爲一種狀態，由於\(h\)最大爲\(6\)，因此能夠將全部人的健康值狀態經過\(7\)進制數\(hash\)成一個整數，便於保存以及狀態的轉移。假設目前的狀態\(hash\)值爲\(state\)，健康值大於\(0\)的人數有\(sz\)個，枚舉全部可能選擇的人，對於其中一我的，使其健康值減\(1\)後的狀態爲\(nextstate\)，則有\(dp[nextstate]=dp[state]\times \frac{1}{sz}\)。通過\(d\)次以後全部狀態中，將對方人數爲\(0\)的機率加起來便可。

可是有幾個問題：

1. 最多會有\(10\)我的，因此可能須要\(7^{10}=3\times 10^8\)來保存狀態，存不下，可是能夠發現，存儲狀態的時候，與全部人的健康值的大小順序無關，因此能夠強制保證他們有序。這樣只須要\(2\times 10^5\)。
2. 轉換爲\(7\)進制且每一個狀態都對其排序後，最終沒法知道那些人是對方的人。能夠在保存的時候，將對方的人的健康值取負，這樣排序後對方的人必定排在最前端。轉換進制也改變爲\(13\)進制，且對於每一個人的健康值增長\(6\)的偏移值，保證健康值都是正數。這樣最終只要判斷一下最前端的人的健康值是否大於\(0\)便可。

方法\(2\)：

​ 根據健康值分類，統計每種健康值的人數（己方與對方的人分開統計），而後將\(6\)種健康值對應的人數也經過\(7\)進制數\(hash\)到一個整數上，加上對方的人總共最多須要\(12\)位，且高位存儲對方每種健康值的人數，這樣能夠經過判斷\(state\)是否小於等於\(all=(666666)_7\)，來肯定對方的人是否全被消滅。

而後就是轉移，枚舉健康值\(i\)，每次從健康值爲\(i\)的人裏選\(1\)我的，將其健康值減\(1\)，選擇健康值爲\(i\)的人的機率爲\(\frac{h[i]}{sum}\)，其中\(h[i]\)爲，健康值爲\(i\)的人數，\(sum\)爲總人數。因此有\(dp[state]=dp[nextstate]*\frac{h[i]}{sum}\)。

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【Code】

//方法1
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define int long long
map<int,double>dp; //dp[state]表示從初始狀態轉換到狀態state的機率爲dp[state]
vector<int>v;
int encode(vector<int>v){ //hash爲13進制
    int ans=0,tmp=1;
    for(auto vv:v){
        ans+=(vv+6)*tmp; //增長6的偏移值，保證都爲正數
        tmp*=13;
    }
    return ans;
}
vector<int> decode(int state){ //求每一個人的健康值
    v.clear();
    while(state){
        v.push_back(state%13-6);
        state/=13;
    }
    sort(v.begin(),v.end()); //保證有序
    return v;
}
map<int,double> solve(){
    map<int,double>mp;
    for(auto v:dp){
        vector<int>state=decode(v.first);
        for(int i=0;i<state.size();i++){ //枚舉每種選擇，轉移狀態
            vector<int>copy(state);
            if(copy[i]>0) copy[i]--;
            else if(copy[i]<0) copy[i]++;
            if(copy[i]==0){ //將健康值爲0的人去除
                copy.erase(copy.begin()+i); 
            }else{
                sort(copy.begin(),copy.end()); //保證健康值有序
            }
            mp[encode(copy)]+=v.second*1.0/state.size();
        }
    }
    return mp;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,m,d,sum1=0;cin>>n>>m>>d;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;cin>>x;sum1+=x;
        v.push_back(x);
    }
    int sum2=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;cin>>x;sum2+=x;
        v.push_back(-x); //將對方的人健康值取負，以在最終的時候區別我方/對方
    }
    if(sum2>d){ //沒法將對方全部人都消滅
        cout<<"0"<<endl;
        return 0;
    }
    if(sum1+sum2<=d){ //可將全部人都消滅
        cout<<"1"<<endl;
        return 0;
    }
    sort(v.begin(),v.end()); //保證有序
    dp[encode(v)]=1;
    for(int i=0;i<d;i++) dp=solve(); //轉移d次
    double ans=0;
    for(auto v:dp){
        vector<int>t=decode(v.first);
        if(t.size()&&t[0]>0) ans+=v.second; //若是最小的人的健康值都大於0，則對方的人必定都被消滅
    }
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(9);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

//方法2
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
#define maxn 10
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
int h1[maxn]/*己方健康值爲i的人數*/,h2[maxn]/*對方健康值爲i的人數*/,all=0/*臨界值*/;
int encode(){ 
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=6;i++) ans=ans*7+h2[i]; //對方放在高6位
    for(int i=1;i<=6;i++) ans=ans*7+h1[i]; //己方放在低6位
    return ans;
}
map<int,double>dp;
double dfs(int pos,int state){
    if(dp.count(state)) return dp[state];
    double &ans=dp[state],sum=0;
    if(state<=all) return ans=1; //若是高6位全爲0，則對方全被消滅
    if(pos==0) return ans=0;
    for(int i=1;i<=6;i++){
        if(!h1[i]) continue;
        sum+=h1[i]; //總人數
        h1[i]--;h1[i-1]++; //當前血量的人減小一個，前一個血量的人增長一個，使得總血量只減小了1
        ans+=(h1[i]+1)*dfs(pos-1,encode());
        h1[i]++;h1[i-1]--; //注意恢復
    }
    for(int i=1;i<=6;i++){
        if(!h2[i]) continue;
        sum+=h2[i];
        h2[i]--;h2[i-1]++;
        ans+=(h2[i]+1)*dfs(pos-1,encode());
        h2[i]++;h2[i-1]--;
    }
    ans/=sum; //最後除以總人數
    return ans;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,m,d;cin>>n>>m>>d;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;cin>>x;h1[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;cin>>x;h2[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=6;i++) all=all*7+6; //低6位全滿時的最大值
    cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(9);
    cout<<dfs(d,encode())<<endl;
    return 0;
}