Comet OJ - Contest #2簡要題解

時間  2019-11-25
標籤 comet contest 簡要 題解 欄目 Java 简体版
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Comet OJ - Contest #2簡要題解

前言：

我沒有小裙子，我太菜了。html

A 因自過去而至的殘響起舞

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/A?problem_id=1528數組

  • 容易發現那玩意增加的飛快，只要模擬就能夠了
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll f[100000];
int main() {
    int i;
    scanf("%lld",&n);
    f[1]=1,f[2]=1;
    ll sum=2;
    if(n==1) {puts("2"); return 0;}
    //if(n==2) {puts("2"); return 0;}
    for(i=3;i<=10000;i++) {
        f[i]=sum/2;
        sum+=f[i];
        if(sum>n) {
            printf("%d\n",i); return 0;
        }
    }
}

B 她的想法、他的戰鬥

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/B?problem_id=1529函數

  • 根據指望的線性性，可知\(E(q)=\frac{L+R}{2}\), 那麼利潤就是\(\frac{p-l}{r-l}(E(q)-p)\)
  • 不難發現這東西是個二次函數，直接求最大值就能夠了。
  • 最優的\(p\)不在\([l,r]\)區間時須要特判。
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double f2;
ll n;
ll f[100000];
int main() {
    f2 l,r,L,R;
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&l,&r,&L,&R);
    f2 q=(L+R)*0.5;
    f2 x=(q+l)/2;
    if(x<l) {
        puts("0.0000"); return 0;
    }
    f2 ans;
    if(x>r) {
        ans=q-r;
    }
    else ans=(-x*x+(q+l)*x-l*q)/(r-l);
    if(ans<1e-6) ans=0;
    printf("%.4f\n",ans);
}

C 言論的陰影裏妄想初萌

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/C?problem_id=1530ui

  • 枚舉有多少個點便可。
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double f2;
#define N 100050
#define mod 998244353
int n;
ll P,fac[N],inv[N];
ll qp(ll x,ll y=mod-2) {
    ll re=1; for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) re=re*x%mod; return re;
}
ll C(int x,int y) {
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main() {
    int i;
    ll x,y;
    scanf("%d%lld%lld",&n,&x,&y);
    P=x*qp(y)%mod;
    for(fac[0]=i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=qp(fac[n]);
    for(i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    ll ans=0;
    for(i=0;i<=n;i++) {
        ans=(ans+C(n,i)*qp(P,ll(i)*(i-1)/2))%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

D 錯綜的光影所迷惑的思念是

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/D?problem_id=1531this

  • 不難想到先枚舉點集直徑的中點\(x\)，那麼限制就是距離\(x\)爲\(\frac{i}{2}\)的點在不一樣的子樹中至少要選出兩個，其餘小於\(i\)的能夠隨意選。
  • 是一個相似\(2^{sz(x)}-1-\sum\limits_{t}(2^{sz(t)}-1)\)的一個式子。其中\(sz(t)\)表示以\(x\)爲根，\(t\)的子樹內有多少距離\(x\)爲\(i\)的點。
  • 有兩個問題，一是點集直徑中點可能卡在邊上，二是\(i\)多是奇數，咱們在每條邊上塞一個點就好了。
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 998244353
#define N 4050
int n,head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt;
ll mi[N],ans[N];
int siz[N],ssiz[N][N];
inline void add(int u,int v) {
    to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;
}
void dfs(int x,int y,int d,int t) {
    int i; 
    if(x<=n) {
        siz[d]++; ssiz[t][d]++;
    }
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
        dfs(to[i],x,d+1,t);
    }
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    int i,x,y,j;
    for(i=1;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,n+i),add(n+i,x),add(y,n+i),add(n+i,y);
    int ln=n+n-1;
    for(mi[0]=i=1;i<=ln;i++) mi[i]=(mi[i-1]<<1)%mod;
    for(x=1;x<=ln;x++) {
        int s=0,lst=0;
        memset(siz,0,sizeof(siz));
        if(x<=n) {
            siz[0]++; lst++;
        }
        for(i=head[x];i;i=nxt[i]) {
            s++;
            memset(ssiz[s],0,sizeof(ssiz[s]));
            dfs(to[i],x,1,s);
        }
        for(i=1;i<n;i++) {
            ll tmp=mi[siz[i]]-1;
            for(j=1;j<=s;j++) tmp=(tmp-(mi[ssiz[j][i]]-1))%mod;
            ans[i]=(ans[i]+tmp*mi[lst])%mod;
            lst+=siz[i];
        }
    }
    for(i=1;i<n;i++) printf("%lld\n",(ans[i]+mod)%mod);
}

E 情報強者追逐事件

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/E?problem_id=1532spa

orz zsycode

  • 對於不在環上的那些，轉移是能夠直接合並的，按照拓撲序更新便可，轉移相似\(f_x=f_x+(1-f_x)\times f_y\times s_y\)。
  • 剩下的對於每一個環來考慮，對於\(x\)，會被環上的任意一點\(y\)來更新到，若是在某一時刻環上相鄰兩個點\(u\)和\(v\)，且從\(u\)轉移出來的機率是\(p\)，那麼從\(v\)轉移出去的機率就是\((1-f_v)\times s_u\times p+f_v\)，不難發現這是一個\(ax+b\)的形式，放到線段樹上去維護就行了。
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 998244353
#define N 800050
char buf[100000],*p1,*p2;
int to[N],du[N],Q[N],n;
ll P[N],s[N],f[N];
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int rd() {
    int x=0; char s=nc();
    while(s<'0'||s>'9') s=nc();
    while(s>='0'&&s<='9') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
    return x;
}
ll qp(ll x,ll y=mod-2) {
    ll re=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)re=re*x%mod; return re;
}
struct A {
    ll x,y;
    A() {x=y=0;}
    A(ll x_,ll y_) {x=x_,y=y_;}
    A operator + (const A &u) const {
        return A(x*u.x%mod, (y*u.x+u.y)%mod);
    }
}tr[N<<2];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
int S[N],tp;
void build(int l,int r,int p) {
    if(l==r) {
        int x=l%tp;
        if(!x)x=tp;
        x=S[x];
        int y=(l-1)%tp;
        if(!y)y=tp;
        y=S[y];
        tr[p]=A((1-f[x])*s[y]%mod,f[x]);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,ls); build(mid+1,r,rs);
    tr[p]=tr[ls]+tr[rs];
}
A query(int l,int r,int x,int y,int p) {
    if(x<=l&&y>=r) return tr[p];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(y<=mid) return query(l,mid,x,y,ls);
    else if(x>mid) return query(mid+1,r,x,y,rs);
    else return query(l,mid,x,y,ls)+query(mid+1,r,x,y,rs);
}
void dfs(int x) {
    if(!x||!du[x]) return ;
    S[++tp]=x;
    du[x]=0;
    dfs(to[x]);
}
int main() {
    n=rd();
    int i;
    ll x,y;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        x=rd(),y=rd();
        P[i]=x*qp(y)%mod;
    }
    for(i=1;i<=n;i++) to[i]=rd();
    for(i=1;i<=n;i++) du[to[i]]++;
    for(i=1;i<=n;i++) f[i]=P[i];
    for(i=1;i<=n;i++) {
        x=rd(),y=rd();
        s[i]=x*qp(y)%mod;
    }
    int l=0,r=0;
    for(i=1;i<=n;i++) if(!du[i]) {
        Q[r++]=i;
    }
    while(l<r) {
        int x=Q[l++];
        du[to[x]]--;
        f[to[x]] = (f[to[x]]+(1-f[to[x]])*f[x]%mod*s[x])%mod;
        if(!du[to[x]]) {
            Q[r++]=to[x];
        }
    }
    //printf("%d\n",r);
    //for(i=0;i<n;i++) printf("%d\n",Q[i]);
    int j;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        if(du[i]) {
            //puts("FUCK");
            tp=0;
            dfs(i);
            //puts("FUCK");
            build(1,tp<<1,1);
            //puts("FUCK");
            for(j=1;j<=tp;j++) f[S[j]]=query(1,tp<<1,j+1,tp+j,1).y;
            //printf("%d\n",tp);
        }
        f[i]=(f[i]%mod+mod)%mod;
        printf("%lld",f[i]);
        if(i!=n) printf(" ");
    }
}

F 真實無妄她們的人生之路

比賽時：htm

woc這個F我會啊，趕忙寫趕忙寫blog

woc我怎麼寫了兩個小時還沒過啊事件

woc終於過了，可是我沒小裙子了...

https://www.cometoj.com/contest/37/problem/E?problem_id=1532

  • 設\(w_i=\frac{P_i}{1-P_i}\)，表示選\(i\)產生的機率，最後答案再乘上\(\prod\limits_{i}(1-P_i)\)就能夠了。
  • 設\(f_j=[x^j](\prod\limits_{i=1}^{n}(w_ix+1))\)，也就是選\(j\)個的機率，這個能夠分治\(ntt\)求出。
  • 那麼考慮刪掉一個，假設刪掉第\(i\)個，設退掉\(i\)以後的揹包數組爲\(g_j\)就是強制\(i\)不選，選\(j\)個的機率。
  • 根據退揹包那一套理論，能夠得出\(g_j=f_j-g_{j-1}\times w_i\)
  • 展開，可得\(g_j=\sum\limits_{k=0}^j(-1)^kw_i^kf_{j-k}\)
  • 那麼退掉第\(i\)個的答案\(ans_i=\sum\limits_{j=1}^na_j\sum\limits_{k=0}^j(-1)^kw_i^kf_{j-k}\)
  • \(ans_i=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kw_i^k\sum\limits_{j=k}^na_jf_{j-k}\)
  • 設\(h_k=\sum\limits_{j=k}^na_jf_{j-k}\)，這是一個卷積形式。
  • 那麼\(ans_i=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kw_i^kh_k\)， 多點求值便可。

  • 把機率爲\(1\)的扔掉再把\(a\)數組平移若干位來求其餘位置上的答案而後因爲那些被扔掉的位置答案都相同因此用一開始的\(f\)和平移(若干位\(-1\))後的\(a\)數組求點積便可。
  • 或者把上面的\(w_i\)改爲\(\frac{1-P_i}{P_i}\)，orzzsy。
//❤ ayaponzu*
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 998244353
#define N 800050
char buf[100000],*p1,*p2;
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int rd() {
    int x=0; char s=nc();
    while(s<'0'||s>'9') s=nc();
    while(s>='0'&&s<='9') x=(((x<<2)+x)<<1)+s-'0',s=nc();
    return x;
}
ll mem[N*60],*ptr=mem,fac[N],inv[N];
ll qp(ll x,ll y) {ll re=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)re=re*x%mod;return re;}
ll INV(ll x){return qp(x,mod-2);}
void ntt(ll *a,int len,int flg) {
    int i,j,k,t; ll tmp,w,wn;
    for(i=k=0;i<len;i++) {
        if(i>k) swap(a[i],a[k]);
        for(j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1) ;
    }
    for(k=2;k<=len;k<<=1) {
        t=k>>1; wn=qp(3,(mod-1)/k);
        if(flg==-1) wn=INV(wn);
        for(i=0;i<len;i+=k) {
            w=1;
            for(j=i;j<i+t;j++) {
                tmp=a[j+t]*w%mod;
                a[j+t]=(a[j]-tmp)%mod;
                a[j]=(a[j]+tmp)%mod;
                w=w*wn%mod;
            }
        }
    }if(flg==-1)for(tmp=INV(len),i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*tmp%mod;
}
ll A[N],B[N];
struct shion {
    ll *a;
    int len;
    shion() {}
    shion(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;}
    void fix(int l) {len=l,a=ptr,ptr+=l;}
    void rev() {reverse(a,a+len);}
    void get_mod(int l) {int i;for(i=l;i<len;i++)a[i]=0;len=l;}
    void kuo(int l) {len=l,ptr=mem+len;}
    bool operator < (const shion &u) const {
        return len>u.len;
    }
    shion operator - (const shion &u) const {
        shion re(len);int i;
        for(i=0;i<len;i++) re.a[i]=(a[i]-u.a[i])%mod;
        return re;
    }
    shion operator + (const shion &u) const {
        shion re(max(len,u.len)); int i;
        for(i=0;i<re.len;i++) {
            re.a[i]=((i<len?a[i]:0)+(i<u.len?u.a[i]:0))%mod;
        }return re;
    }
    shion operator * (const shion &u) const {
        shion re(len+u.len-1);
        int i,l=1,j;
        if(re.len<=200) {
            for(i=0;i<len;i++)for(j=0;j<u.len;j++) {
                re.a[i+j]=(re.a[i+j]+ll(a[i])*u.a[j])%mod;
            }return re;
        }
        while(l<len+u.len)l<<=1;
        memset(A,0,sizeof(ll)*l);
        memset(B,0,sizeof(ll)*l);
        memcpy(A,a,sizeof(ll)*len);
        memcpy(B,u.a,sizeof(ll)*u.len);
        ntt(A,l,1),ntt(B,l,1);
        for(i=0;i<l;i++) A[i]=ll(A[i])*B[i]%mod;
        ntt(A,l,-1);
        for(i=0;i<re.len;i++) re.a[i]=A[i];
        return re;
    }
    void get_inv(const shion &u,int len) {
        if(len==1) {a[0]=INV(u.a[0]);return ;}
        get_inv(u,len>>1);
        int l=len<<1,i;
        memset(A,0,sizeof(ll)*l);
        memset(B,0,sizeof(ll)*l);
        memcpy(A,u.a,sizeof(ll)*min(u.len,len));
        memcpy(B,a,sizeof(ll)*len);
        ntt(A,l,1),ntt(B,l,1);
        for(i=0;i<l;i++) A[i]=B[i]*(2-ll(A[i])*B[i]%mod)%mod;
        ntt(A,l,-1);
        memcpy(a,A,sizeof(ll)*len);
    }
    shion Get_inv(int l) {
        shion re(l); re.get_inv(*this,l); return re;
    }
    shion operator / (shion u) {
        int n=len,m=u.len,l=1;
        while(l<(n-m+1))l<<=1;
        rev(),u.rev();
        shion v=u.Get_inv(l);
        v.get_mod(n-m+1);
        shion re=*this*v;
        rev(),u.rev();
        re.get_mod(n-m+1);
        re.rev();
        return re;
    }
    shion operator % (shion u) {
        shion re=*this-u*(*this/u); re.get_mod(u.len-1); return re;
    }
    shion Get_dao() {
        shion re(len-1);
        int i;
        for(i=1;i<len;i++) re.a[i-1]=ll(i)*a[i]%mod;
        return re;
    }
}fq[N<<2];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
ll RE[N],qx[N];
void build(int l,int r,int p) {
    if(l==r) {
        fq[p].fix(2);
        fq[p].a[0]=-qx[l];
        fq[p].a[1]=1;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,ls),build(mid+1,r,rs);
    fq[p]=fq[ls]*fq[rs];
}
void get_val(shion F,int l,int r,int p,ll *re) {
    if(F.len<=450) {
        int i,j;
        ll t;
        for(i=l;i<=r;i++) {
            for(j=0,t=1;j<F.len;j++,t=ll(t)*qx[i]%mod) {
                re[i]=(re[i]+ll(t)*F.a[j])%mod;
            }
        }
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    get_val(F%fq[ls],l,mid,ls,re);
    get_val(F%fq[rs],mid+1,r,rs,re);
}
priority_queue<shion>q;
int n;
ll P[N],a[N],f[N],g[N],num[N],h[N],tmpa[N];
void geth() {
    shion ta(n+1),tb(n+1);
    int i;
    for(i=0;i<=n;i++) ta.a[i]=a[n-i];
    for(i=0;i<=n;i++) tb.a[i]=f[i];
    shion tc=ta*tb;
    for(i=0;i<=n;i++) h[i]=tc.a[n-i];
}
int is[N],to[N];
int main() {

    n=rd();

    int i,tot=0,ln=n;
    ll x,y;
    for(i=0;i<n;i++) a[i]=rd();
    for(i=1;i<=ln;i++) {
        x=rd(),y=rd();
        P[i]=x*INV(y)%mod;
        num[i]=INV(1-P[i]);
        if(P[i]==1) {
            is[i]=1;
        }else {
            P[++tot]=P[i];
            num[tot]=num[i];
            to[i]=tot;
        }
    }
    if(!tot) {
        for(i=1;i<=n;i++) {
            printf("%lld",a[ln-1]);
            if(i!=n) printf(" ");
        }
        return 0;
    }
    memcpy(tmpa,a,sizeof(a));
    for(i=0;i<=n;i++) a[i]=a[i+ln-tot];
    n=tot;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        shion t(2);
        t.a[0]=1,t.a[1]=P[i]*num[i]%mod;
        q.push(t);
    }
    for(i=1;i<n;i++) {
        shion aa=q.top(); q.pop();
        shion bb=q.top(); q.pop();
        q.push(aa*bb);
    }

    ll tmp=1;
    for(i=1;i<=n;i++) tmp=tmp*(1-P[i])%mod;
    shion qwq=q.top();
    for(i=0;i<=n;i++) f[i]=qwq.a[i];
    geth();
    
    
    for(i=1;i<=n;i++) qx[i]=P[i]*num[i]%mod;
    build(1,n,1);
    shion ff(n+1);
    for(i=0;i<=n;i++) {
        if(i&1) ff.a[i]=mod-h[i];
        else ff.a[i]=h[i];
    }
    get_val(ff,1,n,1,RE);

    if(tot!=ln) for(i=0;i<=n;i++) a[i]=tmpa[i+ln-tot-1];
    ll OTH=0;
    for(i=0;i<=n;i++) {
        //printf("%lld\n",a[i]);
        OTH=(OTH+a[i]*f[i])%mod;
    }
    OTH=(OTH*tmp%mod+mod)%mod;

    for(i=1;i<=ln;i++) {
        if(is[i]) {
            printf("%lld",OTH);
        }else {
            ll ans=RE[to[i]]*num[to[i]]%mod*tmp%mod;
            printf("%lld",(ans+mod)%mod);
        }
        if(i!=ln) printf(" ");
    }
}

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