斐波那契公約數

題目描述

對於Febonacci數列，求第n項和第m項的最大公約數是多少？(n,m<=1e9>)。對於最後的結果只要輸出最後的8位數字就能夠了。

思路

首先注意到的是數據量巨大(1e9)，數組開不下；即便使用Febonacci遞推公式也會超時。不過好在Febonacci數列是有通項公式的。由於，解特徵方程獲得解，再代入，就能夠解的最終的通項公式是。

求兩個數的最大公約數能夠用 展轉相除法

typedef long long LL;
LL gcd(LL a, LL b) {
    return (b ? gcd(b, a % b) : a); 
}
複製代碼

不過這裏的數字會很是巨大，而且也不是一個整數，用快速冪的時候對double作%運算彷佛會報錯……

題解

正解用到了 矩陣加速 和 一個Febonacci的結論。 矩陣加速並非必須的，可是能減小很多計算量。先看看矩陣加速的巧妙之處：

矩陣加速

若是已知：，那麼要求，只須要乘一個矩陣：

其實這裏已經能看出用矩陣的方式表達Febonacci數列的遞推關係。若是初始化矩陣爲 ，那麼通項公式爲：

這樣作就能使用 矩陣快速冪 減少複雜度到 O(logn) 算得 F[n]。

再看一下這道題的 關鍵之處

一個Febonacci的結論

先看結論：

這個結論彷佛很好記，可是不是很直接，Febonacci數列的第n項和第m項的最大公約數竟然正好等於第項的值？

詳細的推導過程是這樣的：

1. 若是
2. 那麼, , ... ,
3. 因此有
4. 這樣，,
5. 其中是的倍數，所以上式轉爲
6. 能夠經過遞推證實:
7. 所以，即

這樣求解的目標就化簡爲求第項了。

代碼

#include <cstring>
#include <iostream>
#define MOD 100000000

using namespace std;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a, LL b) {
    return (b ? gcd(b, a%b) : a);
}

struct Mat {
    LL mat[2][2];
    int h, w;
    Mat(int _h=2, int _w=2) {
        h = _h, w = _w;
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }
};

Mat Multiply(const Mat &a, const Mat &b) {
    Mat ret(a.h, b.w);
    for (int i = 0; i < a.h; ++i)
    for (int j = 0; j < b.w; ++j)
    for (int k = 0; k < a.w; ++k) {
        LL tmp = a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % MOD;
        ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + tmp) % MOD;
    }
    return ret;
}

int main() {
    LL n, m;
    cin >> n >> m;
    LL gcd_nm = gcd(n, m);
    if (gcd_nm <= 2) cout << 1 << endl;
    else {
        Mat raw(2, 1);
        raw.mat[0][0] = raw.mat[1][0] = 1;
        Mat f(2, 2);
        f.mat[0][0] = f.mat[0][1] = f.mat[1][0] = 1;
        gcd_nm -= 2;
        while (gcd_nm) {
            if (gcd_nm & 1)
                raw = Multiply(f, raw);
            f = Multiply(f, f);
            gcd_nm >>= 1;
        }
        cout << raw.mat[0][0] << endl;
    }
    return 0;
}
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