一文搞定二叉排序(搜索)樹
前言
前面介紹學習的大可能是線性表相關的內容，把指針搞懂後其實也沒有什麼難度，規則相對是簡單的，後面會講解一些比較常見的數據結構，用多圖的方式讓你們更容易吸取。java
在數據結構與算法中，樹是一個比較大的家族，家族中有不少厲害的成員，這些成員有二叉樹和多叉樹(例如B+樹等)，而二叉樹的你們族中，二叉搜索樹(又稱二叉排序樹)是最最基礎的，在這基礎上才能繼續拓展學習AVL(二叉平衡樹)、紅黑樹等知識。node
對於二叉排序樹而言，本章重點關注其實現方式以及插入、刪除步驟流程，咱們會手寫一個二叉排序樹，二叉樹遍歷部分的內容比較多會單獨詳細講解。算法
什麼是樹
樹是一種數據結構，它是由n(n>=1)個有限結點組成一個具備層次關係的集合。把它叫作「樹」是由於它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。
數組
樹是遞歸的，將樹的任何一個節點以及節點下的節點都能組合成一個新的樹，因此樹的不少問題都是使用遞歸去完成。數據結構
根節點： 最上面的那個節點(root)，根節點沒有父節點，只有子節點（0個或多個均可以）函數
層數： 通常認爲根節點是第1層(有的也說第0層)，而樹的高度就是層數最高(上圖層數開始爲1)節點的層數學習
節點關係:this
- 父節點：鏈接該節點的上一層節點,
- 孩子節點: 和父節點對應，上下關係。而祖先節點是父節點的父節點(或者祖先）節點。
- 兄弟節點：擁有同一個父節點的節點們！
節點的度: 就是節點擁有孩子節點的個數(是直接鏈接的孩子不是子孫).3d
樹的度: 就是全部節點中最大 (節點的度)。同時，若是度大於0的節點是分支節點,度等於0的節點是葉子節點（沒有子孫）。指針
相關性質：
二叉樹
二叉樹是一樹的一種，但應用比較多，因此須要深刻學習，二叉樹的每一個節點最多隻有兩個子節點(但不必定非得要有兩個節點)。
二叉樹與度爲2的樹的區別：
一、度爲2的的樹必須有三個節點以上(不然就不叫度爲二了，必定要先存在)，二叉樹能夠爲空。
二、二叉樹的度不必定爲2,好比斜樹。
三、二叉樹有左右節點區分，而度爲2的樹沒有左右節點的區分。
幾種特殊二叉樹：
滿二叉樹：高度爲n的滿二叉樹有(2^n) -1個節點
徹底二叉樹：上面一層所有滿，最下一層從左到右順序排列
二叉排序樹：樹按照必定規則插入排序(本文詳解)。
平衡二叉樹：樹上任意節點左子樹和右子樹深度差距不超過1(後文詳解).
二叉樹性質：
一、二叉樹有用樹的性質
二、非空二叉樹葉子節點數=度爲2的節點數+1.原本一個節點若是度爲1.那麼一直延續就一個葉子，但若是出現一個度爲2除了延續原來的一個節點，會多出一個節點須要維繫。因此到最後會多出一個葉子。
三、非空第i層最多有2^(i-1)個節點。
四、高爲h的樹最多有(2^h)-1個節點(等比求和)。
二叉樹通常用鏈式存儲，這樣內存利用更高，但二叉樹也能夠用數組存儲的(常常會遇到)，各個節點對應的下標是能夠計算出來的，就拿一個徹底二叉樹若從左往右，從上到下編號如圖：
二叉排序(搜索)樹
概念
前面鋪墊那麼多，我們言歸正傳，詳細講解並實現一個二叉排序樹，二叉搜索樹擁有二叉樹的性質，同時有一些本身的規則：
首先要了解二叉排序樹的規則：從任意節點開始，節點左側節點值總比節點右側值要小。
例如一個二叉排序樹依次插入15，6，23，7，4，71，5，50會造成下圖順序
構造
二叉排序樹是由若干節點(node)構成的，對於node須要這些屬性：left，right，和value。其中left和right是左右指針指向左右孩子子樹，而value是儲存的數據，這裏用int 類型。
node類構造爲：
class node {//結點
public int value;
public node left;
public node right;
public node()
{
}
public node(int value)
{
this.value=value;
this.left=null;
this.right=null;
}
public node(int value,node l,node r)
{
this.value=value;
this.left=l;
this.right=r;
}
}
既然節點構造好了，那麼就須要節點等其餘信息構形成樹，有了鏈表構造經驗，很容易得知一棵樹最主要的仍是root根節點。
因此樹的構造爲：
public class BinarySortTree {
node root;//根
public BinarySortTree()
{root=null;}
public void makeEmpty()//變空
{root=null;}
public boolean isEmpty()//查看是否爲空
{return root==null;}
//各類方法
}
主要方法
既然已經構造好一棵樹，那麼就須要實現主要的方法,由於二叉排序樹中每一個節點都能看做一棵樹。因此咱們建立方法的是時候加上節點參數(方便一些遞歸調用)
findmax(),findmin()
findmin()找到最小節點：
由於全部節點的最小都是往左插入，因此只須要找到最左側的返回便可，具體實現可以使用遞歸也可非遞歸while循環。
findmax()找到最大節點：
由於全部節點大的都是往右面插入，因此只須要找到最右側的返回便可，實現方法與findmin()方法一致。
代碼使用遞歸函數
public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，調用查看結果時須要.value
{
if(t==null) {return null;}
else if(t.left==null) {return t;}
else return(findmin(t.left));
}
public node findmax(node t)//查找最大
{
if(t==null) {return null;}
else if(t.right==null) {return t;}
else return(findmax(t.right));
}
isContains(int x)
這裏的意思是查找二叉查找樹中是否存在值爲x的節點。
在具體實現上，根據二叉排序樹左側更小，右側更大的性質進行往下查找，若是找到值爲x的節點則返回true，若是找不到就返回false，固然實現上能夠採用遞歸或者非遞歸，我這裏使用非遞歸的方式。
public boolean isContains(int x)//是否存在
{
node current=root;
if(root==null) {return false;}
while(current.value!=x&¤t!=null)
{
if(x<current.value) {current=current.left;}
if(x>current.value) {current=current.right;}
if(current==null) {return false;}//在裏面判斷若是超直接返回
}
//若是在這個位置判斷是否爲空會致使current.value不存在報錯
if(current.value==x) {return true;}
return false;
}
insert(int x)
插入的思想和前面isContains(int x)相似，找到本身的位置(空位置)插入。
可是具體實現上有須要注意的地方，咱們要到待插入位置上一層節點，你可能會疑問爲何不直接找到最後一個空，而後將current賦值過去current=new node(x)，這樣的化current就至關於指向一個new node(x)節點，和原來樹就脫離關係(原樹至關於沒有任何操做)，因此要提早經過父節點斷定是否爲空找到位置，找到合適位置經過父節點的left或者right節點指向新建立的節點才能完成插入的操做。
public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
node current = root;
if (root == null) {
root = new node(x);
return root;
}
while (current != null) {
if (x < current.value) {
if (current.left == null) {
return current.left = new node(x);}
else current = current.left;}
else if (x > current.value) {
if (current.right == null) {
return current.right = new node(x);}
else current = current.right;
}
}
return current;//其中用不到
}
好比說上面樹插入值爲51的節點。
delete(int x)
刪除操做算是一個相對較難理解的操做了，由於待刪除的點可能在不一樣位置因此具體處理的方式也不一樣，若是是葉子便可可直接刪除，有一個孩子節點用子節點替換便可，有兩個子節點的就要先找到值距離待刪除節點最近的點(左子樹最大點或者右子樹最小點)，將值替換掉而後遞歸操做在子樹中刪除已經替換的節點，固然沒具體分析能夠看下面：
刪除的節點沒有子孫:
這種狀況不須要考慮，直接刪除便可(節點=null便可)(圖中紅色點均知足這種方式)。
一個子節點爲空：
此種狀況也很容易，直接將刪除點的子節點放到被刪除位置便可。
左右節點均不空
左右孩子節點都不爲空這種狀況是相對比較複雜的，由於不能直接用其中一個孩子節點替代當前節點(放不下，若是孩子節點也有兩個孩子那麼有一個節點沒法放，例如拿下面71節點替代)
若是拿19或者71節點填補。雖然能夠保證部分側大於小於該節點，可是會引發合併的混亂.好比你若用71替代23節點。那麼你須要考慮三個節點(19,50,75)之間如何處理，還要考慮他們是否滿，是否有子女，這是個複雜的過程，不適合考慮。
因此，咱們要分析咱們要的這個點的屬性：可以保證該點在這個位置仍知足二叉搜索樹的性質(找到值最近的)，那麼子樹中哪一個節點知足這樣的關係呢？
左子樹中最右側節點或者右子樹中最左側節點都知足，咱們能夠選一個節點將待刪除節點值替換掉(這裏替換成左子樹最右側節點)。
這個點替換以後該怎麼辦呢？很簡單啊，二叉樹用遞歸思路解決問題，再次調用刪除函數在左子樹中刪除替換的節點便可。
這裏演示是選取左子樹最大節點(最右側)替代，固然使用右子樹最小節點也能知足在這待刪除的大小關係，原理一致。整個刪除算法流程爲：
這部分操做的代碼爲：
public node remove(int x, node t)// 刪除節點
{
if (t == null) {
return null;
}
if (x < t.value) {
t.left = remove(x, t.left);
} else if (x > t.value) {
t.right = remove(x, t.right);
} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右節點均不空
{
t.value = findmin(t.right).value;// 找到右側最小值替代
t.right = remove(t.value, t.right);
} else // 左右單空或者左右都空
{
if (t.left == null && t.right == null) {
t = null;
} else if (t.right != null) {
t = t.right;
} else if (t.left != null) {
t = t.left;
}
return t;
}
return t;
}
完整代碼
這個完整代碼是筆者在大三時候寫的，可能有很多疏漏或者不規範的地方，僅供學習參考，若有疏漏錯誤還請指正。
二叉排序樹完整代碼爲：
package 二叉樹;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;
public class BinarySortTree {
class node {// 結點
public int value;
public node left;
public node right;
public node() {
}
public node(int value) {
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
}
public node(int value, node l, node r) {
this.value = value;
this.left = l;
this.right = r;
}
}
node root;// 根
public BinarySortTree() {
root = null;
}
public void makeEmpty()// 變空
{
root = null;
}
public boolean isEmpty()// 查看是否爲空
{
return root == null;
}
public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，調用查看結果時須要.value
{
if (t == null) {
return null;
} else if (t.left == null) {
return t;
} else
return (findmin(t.left));
}
public node findmax(node t)// 查找最大
{
if (t == null) {
return null;
} else if (t.right == null) {
return t;
} else
return (findmax(t.right));
}
public boolean isContains(int x)// 是否存在
{
node current = root;
if (root == null) {
return false;
}
while (current.value != x && current != null) {
if (x < current.value) {
current = current.left;
}
if (x > current.value) {
current = current.right;
}
if (current == null) {
return false;
} // 在裏面判斷若是超直接返回
}
// 若是在這個位置判斷是否爲空會致使current.value不存在報錯
if (current.value == x) {
return true;
}
return false;
}
public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
node current = root;
if (root == null) {
root = new node(x);
return root;
}
while (current != null) {
if (x < current.value) {
if (current.left == null) {
return current.left = new node(x);}
else current = current.left;}
else if (x > current.value) {
if (current.right == null) {
return current.right = new node(x);}
else current = current.right;
}
}
return current;//其中用不到
}
public node remove(int x, node t)// 刪除節點
{
if (t == null) {
return null;
}
if (x < t.value) {
t.left = remove(x, t.left);
} else if (x > t.value) {
t.right = remove(x, t.right);
} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右節點均不空
{
t.value = findmin(t.right).value;// 找到右側最小值替代
t.right = remove(t.value, t.right);
} else // 左右單空或者左右都空
{
if (t.left == null && t.right == null) {
t = null;
} else if (t.right != null) {
t = t.right;
} else if (t.left != null) {
t = t.left;
}
return t;
}
return t;
}
}
結語
這裏咱們學習瞭解了樹、二叉樹、以及二叉搜素樹，對於二叉搜素樹插入查找比較容易理解，可是實現的時候要注意函數參數的引用等等。
偏有難度的是二叉樹的刪除，利用一個遞歸的思想，分類討論待刪除狀況，要找到特殊狀況和普通狀況，遞歸必定程度也是問題的轉化(轉成本身相同問題，做用域減少)須要思考。
下面還會介紹二叉樹的三序遍歷(遞歸和非遞歸)和層序遍歷。這些都是比較經典熱門的問題須要深刻了解。
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