惟一二叉搜索樹

原題

　　Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?
　　For example,
　　Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

 

 

題目大意

　　給定一個n個結點的二叉搜索樹，求一共有多少個不一樣類型的二叉搜索樹。

解題思路

　當n=1時，只有1個根節點，則只能組成1種形態的二叉樹，令n個節點可組成的二叉樹數量表示爲h(n)，則h(1)=1; h(0)=0;
　　當n=2時，1個根節點固定，還有2-1個節點。這一個節點能夠分紅（1,0），（0,1）兩組。即左邊放1個，右邊放0個；或者左邊放0個，右邊放1個。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，則能組成2種形態的二叉樹。
　　當n=3時，1個根節點固定，還有2個節點。這2個節點能夠分紅（2,0），（1,1），（0,2）3組。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，則能組成5種形態的二叉樹。
　　以此類推，當n>=2時，可組成的二叉樹數量爲h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)種，即符合Catalan數的定義，可直接利用通項公式得出結果。
　　令h(1)＝1,h(0)=1，catalan數（卡特蘭數）知足遞歸式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　另類遞歸式：
　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　該遞推關係的解爲：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

　　遞推公式
　　f(k)*f(n-1-k)：f(k)表示根結點左子樹有k個結點，其有的形狀是f(k)，f(n-1-k)表示右子樹有n-1-k個結點
　　f(n) = 2*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3) + f(3)*f(n-4) + … +f(n-2)*f(1)

代碼實現

算法實現類

public class Solution {

    public int numTrees(int n) {

        if (n <= 0) {
            return 0;
        } else if (n == 1) {
            return 1;
        }

        int[] result = new int[n + 1];
        result[0] = 0;
        result[1] = 1;


        // 求f(2)...f(n)
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 求f(i)
            result[i] = 2 * result[i - 1];
            for (int j = 1; j <= i - 1 ; j++) {
                result[i] += result[j]*result[i - 1 -j];
            }

        }
        return result[n];
    }
}