小波多分辨率分析框架

咱們知道，小波分析實際上就是將信號分解爲「粗略」的和「精細」的兩部分。其中「粗略」部分變化緩慢，獲取「粗略」成分可理解爲低通濾波；相應的，獲取「精細」成分可理解爲高通濾波。

爲了能將這種分解一級級繼續下去，咱們須要定義一個子空間序列$V_j$知足以下條件：

（嵌套性）$V_j\subset V_{j+1}$

（稠密性）$\overline{\cup{V_j}}=L^2 (R)$

（分立性）$\cap{V_j}={0}$

（尺度性）$f(x)\in V_j \Longleftrightarrow f(2^{-j}x) \in V_0$

（標準正交基）存在函數$\phi \in V_0$，$\{\phi (x-k); k\in Z\}$是$V_0$的標準正交基

從實用角度看，最有用的一類尺度函數是有限支撐的，但這並非一個理論上的限制。

知足上述條件的空間序列$\{V_j; j\in Z\}$和相應的函數$\phi$稱爲依尺度函數$\phi$的多分辨率分析。

 

定理1. 設$\{V_j, j\in Z\}$是一個依尺度函數$\phi$的多分辨率分析，那麼對任一$j \in Z$，函數集

$\{\phi_{jk} (x) = 2^{j/2} \phi(2^j x-k); k \in Z\}$

是$V_j$的一個標準正交基。

證實思路：考慮利用尺度特性證實$ V_j $中的函數能夠寫成$\{\phi (2^{-j} x - k); k\in Z\}$的線性組合。而後直接利用標準正交的定義證實$\{ \phi_{jk}; k \in Z \}$是標準正交的。

 

定理2. （雙尺度關係定理）設$\{V_j, j\in Z\}$是一個依尺度函數$\phi$的多分辨率分析，有下列尺度關係成立：

$\phi (x) = \sum\limits_{k\in Z} p_k \phi(2x-k)$，$p_k = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \overline{\phi(2x-k)}dx$

進一步，有$\phi_{j-1,l}=2^{-1/2}\sum\limits_k p_{k-2l} \phi_{jk}$

注意有的教材會將$p_k$規範化，此時公式前面的係數有相應的改變。

解釋與證實思路：考慮到空間的嵌套性與前述定理，$\phi(x)$老是能夠寫成$\phi(2x)$及其移位的線性組合。每一個線性項的係數是$\phi(x)$在空間$\{V_1\}$的標準正交基上的投影。將$x$替換爲$2^{j-l}x-l$可證得進一步結論。對進一步結論也能夠從直觀上看：基函數及其移位函數$\phi(2^j x - k)$保持不變，但將各系數移位成$p_{k-2l}$，累加就獲得移位後的函數$\phi_{j-1,l}$。由於$V_j$與$V_{j-1}$是包含與被包含的關係，因此進一步結論的等號兩端移位長度分別爲$l$和$2l$。

 

Parseval恆等式

令V是一個復內積空間，其標準正交基爲$\{ u_k \}$。若$f\in V, g\in V$，$f$和$g$的表示式以下：

$f=\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k u_k$

$g=\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k u_k$

那麼

$\langle f,g \rangle = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \overline{b_k}$

 

定理3. 設$\{V_j; j \in Z\}$是一個依尺度函數$\phi$的多分辨率分析，$p_k$如前述定理。則下列等式成立：

1. $\sum\limits_{k\in Z} p_{k-2l} \overline{p_k} = 2 \delta_{l0}$

2. $\sum\limits_{k\in Z} |p_k|^2=2$

3. $\sum\limits_{k\in Z} p_k = 2$

4. $\sum\limits_{k\in Z} p_{2k}=1$，$\sum\limits_{k\in Z} p_{2k+1} = 1$

解釋與證實思路：式1的證實利用前述Parseval恆等式和$\{ \phi(x-k) \}$標準正交便可。而後令$l=0$獲得式2。其他等式的證實參考教科書。

 

定理4. 設$\{V_j; j \in Z\}$是一個依尺度函數$\phi$的多分辨率分析，且$\phi=\sum\limits_k p_k \phi (2x-k)$。令$\psi(x)=\sum\limits_{k\in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k} \phi(2x-k)}$，那麼$W_j \subset V_{j+1}$是$V_{j+1}$中$V_j$的正交補，且$\{\psi_{jk}(x)=2^{j/2}\psi(2^jx-k), k\in Z\}$是$W_j$的一個標準正交基。

解釋與證實思路：若是將$p_k$看作是低通濾波係數，分解後的信號在$\phi(x)$支撐區間內比原信號要「平滑」，那麼相應的高通濾波係數須要更加「劇烈抖動」且是原濾波器的「徹底補」。經過將係數乘上$(-1)^k$並逆序以達到這種效果。$p$的下標倒序爲$1-k$還使得$\langle \phi, \psi \rangle$在運算時能夠將$p_mp_n$兩兩抵消最終達到正交的效果。

 

定理5. 小波函數集$\{\psi_{jk}\}$是$L^2(R)$的一個標準正交基。

 

分解與重構：

在獲得$\phi_{jk}$與$\phi_{j-1,k}$與$\psi_{j-1,k}$的關係以後，咱們能夠進一步考慮信號的分解與重構。

若$f$是$V_j$中的函數，咱們有：$f=\sum\limits_{k \in Z} \langle f, \phi_{jk} \rangle \phi_{jk}  $

分解：

$f=\sum\limits_{k\in Z} \langle f, \phi_{j-1,k} \rangle \phi_{j-1,k} + \sum\limits_{k\in Z} \langle f, \psi_{j-1,k} \rangle \psi_{j-1,k} $

$\langle f, \phi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} \overline{p_{k-2l}} \langle f, \phi_{jk} \rangle $

$\langle f, \psi_{j-1,l} \rangle = 2^{-1/2} \sum\limits_{k \in Z} (-1)^k p_{1-k+2l} \langle f, \phi_{jk} \rangle $

重構：

$\langle f, \phi_{jk} \rangle = 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} p_{k-2l} \langle f, \phi_{j-1,l} \rangle + 2^{-1/2}\sum\limits_{l \in Z} (-1)^k \overline{p_{1-k+2l}} \langle f, \psi_{j-1,l} \rangle $

解釋與證實思路：

利用Parseval恆等式和尺度關係。