B-樹

定義：

　　B-樹是一種平衡的多路查找樹，在文件系統中有所應用。主要用做文件的索引。

特性：（M爲層數）

　　1.定義任意非 葉子結點最多隻有M個 兒子；且M>2；

　　2. 根結點的 兒子數爲[2, M]；

　　3.除 根結點之外的非 葉子結點的 兒子數爲[M/2, M]；

　　4.每一個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個 關鍵字；（至少2個關鍵字,根 節點至少一個關鍵字）；

　　5.非葉子結點的 關鍵字個數=指向 兒子的 指針個數-1；

　　6.非 葉子結點的 關鍵字：K[1], K[2], …, K[m-1]，m<M+1；且K[i]< K[i+1] ；

　　7.非 葉子結點的 指針：P[1], P[2], …, P[m]；其中P[1]指向 關鍵字小於K[1]的子樹，P[m]指向關鍵字大於K[m-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

　　8.全部 葉子結點位於同一層；

 

時間複雜度：（M爲設定的非葉子結點最多子樹個數，N爲關鍵字總數）

　　　

 

基本操做：

     1.B-樹的插入操做 (重點判斷是否知足 n<=m-1)

　　　　a.利用前述的 B-樹的查找算法查找關鍵字的插入位置。若找到，則說明該關鍵字已經存在，直接返回。不然查找操做必失敗於某個最低層的非終端結點上。

      　　b.判斷該結點是否還有空位置。即判斷該結點的關鍵字總數是否知足n<=m-1。若知足，則說明該結點還有空位置，直接把關鍵字k插入到該結點的合適位置上。若不知足，說明該結點己沒有空位置，須要把結點分裂成兩個。　

　　　　分裂的方法是：生成一新結點。把原結點上的關鍵字和k按升序排序後，從中間位置把關鍵字（不包括中間位置的關鍵字）分紅兩部分。左部分所含關鍵字放在舊結點中，右部分所含關鍵字放在新結點中，中間位置的關鍵字連同新結點的存儲位置插入到父結點中。若是父結點的關鍵字個數也超過（m-1），則要再分裂，再往上插。直至這個過程傳到根結點爲止。

 

 

　　（2）B-樹的刪除操做(重點判斷刪除所在結點及其兄弟結點，父結點中n>ceil(m/2)-1，n=ceil(m/2)-1，n<ceil(m/2)-1)

　　　　　　方法：在B-樹上刪除關鍵字K的過程也能夠分爲兩步完成

　　　　　　a.利用前述的B-樹的查找算法找出該關鍵字所在的結點。而後根據 k所在結點是否爲葉子結點有不一樣的處理方法。

　　　　　　b.若該結點爲非葉結點，且被刪關鍵字爲該結點中第i個關鍵字key[i]，則可從指針son[i]所指的子樹中找出最小關鍵字Y，代替key[i]的位置，而後在葉結點中刪去Y。所以，把在非葉結點刪除關鍵字k的問題就變成了刪除葉子結點中的關鍵字的問題了。

　　　　在B-樹葉結點上刪除一個關鍵字的方法是

　　　　　　首先將要刪除的關鍵字 k直接從該葉子結點中刪除。而後根據不一樣狀況分別做相應的處理，共有三種可能狀況：

  　　　　　　a.若是被刪關鍵字所在結點的原關鍵字個數n>=ceil(m/2)，說明刪去該關鍵字後該結點仍知足B-樹的定義。這種狀況最爲簡單，只需從該結點中直接刪去關鍵字便可。

  　　　　　　b.若是被刪關鍵字所在結點的關鍵字個數n等於ceil(m/2)-1，說明刪去該關鍵字後該結點將不知足B-樹的定義，須要調整。

   　　　　　調整過程爲：若是其左右兄弟結點中有「多餘」的關鍵字,即與該結點相鄰的右（左）兄弟結點中的關鍵字數目大於ceil(m/2)-1。則可將右（左）兄弟結點中最小（大）關鍵字上移至雙親結點。而將雙親結點中小（大）於該上移關鍵字的關鍵字下移至被刪關鍵字所在結點中。

   　　　　　　c.若是左右兄弟結點中沒有「多餘」的關鍵字，即與該結點相鄰的右（左）兄弟結點中的關鍵字數目均等於ceil(m/2)-1。這種狀況比較複雜。需把要刪除關鍵字的結點與其左（或右）兄弟結點以及雙親結點中分割兩者的關鍵字合併成一個結點,即在刪除關鍵字後，該結點中剩餘的關鍵字加指針，加上雙親結點中的關鍵字K_i一塊兒，合併到A_i（即雙親結點指向該刪除關鍵字結點的左（右）兄弟結點的指針）所指的兄弟結點中去。若是所以使雙親結點中關鍵字個數小於ceil(m/2)-1，則對此雙親結點作一樣處理。以至於可能直到對根結點作這樣的處理而使整個樹減小一層。

　　　　總之，設所刪關鍵字爲非終端結點中的Ki，則能夠指針Ai所指子樹中的最小關鍵字Y代替Ki，而後在相應結點中刪除Y。對任意關鍵字的刪除均可以轉化爲對最下層關鍵字的刪除。

 

如圖示：

a、被刪關鍵字Ki所在結點的關鍵字數目不小於ceil(m/2)，則只需從結點中刪除Ki和相應指針Ai，樹的其它部分不變。

 

b、被刪關鍵字Ki所在結點的關鍵字數目等於ceil(m/2)-1，則需調整。調整過程如上面所述。

 

c、被刪關鍵字Ki所在結點和其相鄰兄弟結點中的的關鍵字數目均等於ceil(m/2)-1，假設該結點有右兄弟，且其右兄弟結點地址由其雙親結點指針Ai所指。則在刪除關鍵字以後，它所在結點的剩餘關鍵字和指針，加上雙親結點中的關鍵字Ki一塊兒，合併到Ai所指兄弟結點中（若無右兄弟，則合併到左兄弟結點中）。若是所以使雙親結點中的關鍵字數目少於ceil(m/2)-1，則依次類推.