0.1 + 0.2 !== 0.3

時間 2019-11-30

標籤 0.1 0.2 0.3 简体版

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有一道很常見的面試題面試

0.1 + 0.2 === 0.3 // true ? false
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你們應該都知道是 false，可是爲毛不相等呢？下面我將從 浮點數表示 及 浮點數精度 兩個方面來解釋算法

Javascript 浮點數表示

Javascript 中不存在整型和浮點型之分，只有一個類型 Number，它遵循 IEEE 二進制浮點數算術標準（IEEE754）,使用 64 位 雙精度浮點數（double） 存儲。bash

雙精度存儲是知道了，那雙精度浮點數是如何存儲數據呢？主要有如下幾個關鍵點spa

1. 雙精度浮點數使用 64 位存儲設計

sign（S）：符號位，長度爲 1，0 表明數字爲正，1 表明數字爲負
exponent（E）：指數位，長度爲 11，二進制科學計數法的指數位
mantissa（M）：尾數位，長度爲 52 ，二進制科學計算法的尾數位

數值的計算公式爲（二進制）：code

2. 使用二進制科學計數法cdn

舉個栗子：
$0.5_{10}$ 轉換爲二進制表示
轉換爲二進制科學計數法 $1*2^{-1}$ blog

3. 指數位表示有符號整數接口

由於指數位數值爲無符號整數，範圍爲[0, 2047]，在規格化值中取 [1, 2046]。但指數位須要表示的是有符號整數，則[1, 1022] 表示爲負數[-1022, -1]，1023 表示爲 0，[1024, 2046]表示爲正數[1, 1023]，因此整個指數位表示的範圍是[-1022, 1023]ip

由上可推導出公式：

E：指數位表示的數值
e：指數位實際存儲的數值

舉個栗子：
$0.5_{10}$ 表示爲二進制科學計數法 $1*2^{-1}$ ，該數 E = -1，e = 1022

tips: 下面會講什麼是規格化值，和其餘的值

4. 尾數不表示二進制科學計算的整數部分，即不表示 1

因爲規格化的數整數位都是 1，因此在存儲時能夠節約空間，不表示整數位，從小數位開始表示。因此尾數位其實最大能表示 53 位

由上可推導出公式：

M：位數位表示的數值
f：位數位實際存儲的數值

舉個栗子：
二進制科學計數法 $1*2^{-1}$ ，該數 M=1，則實際存儲 f=0，

由上可將數值計算公式推導爲

非規格化值和特殊值

那麼問題來了，若是按公式，那麼如何表示 0 呢？，即便你設 f = 0，e=任意值，按照公式算出，value 不可能爲 0。固然第一個公式沒有問題，問題出在公式的推導，由於推導出的公式只符合規格化數值，下面介紹下規格化數值和其餘數值

規格化數值：e 不全爲 0，也不全爲 1，f 爲任意值
非規格化數值：e 所有爲 0，f 爲任意值。非規格化數值主要用於表示 0，以及接近 0 的數。此時公式爲
無窮大：e 所有爲 1，f 爲 0
NaN：e 所有爲 1，f 不爲 0

因此：當 e = 0 時，f = 0 時，表示數值 0

解釋 0.1 + 0.2 !== 0.3

到這裏，咱們已經能夠解釋 0.1 + 0.2 爲何不等於 0.3 咯

$0.1_{10}$ 表示爲二進制爲：
轉換爲二進制科學計數法爲： $1.1001100...1100...1100...*2^{-4}$
計算得：S = 0，E = -4，M = 1.1001100...1100...1100...，則 S = 0，e = 1029，f = 1001100...1100...11010
將截斷（舍入）後的數值從新表示爲二進制，則 0.1 最終的二進制數值爲： 0.00011...0011...001101

同理，表示出 0.2，0.3 的二進制數值

0.1：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.2：0.001100110011001100110011001100110011001100110011001101
0.3：0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011

0.1 + 0.2 和爲: // 下面會詳情介紹該步驟
     0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101
將和與0.3對比，發現並不相等，中間差值爲:
     0.000000000000000000000000000000000000000000000000000001
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從結果值來看，中間差值已經很小很小了，已經能夠忽略了不計了。事實上在 ES6 Number 擴展中，增長 Number.EPSILON 屬性，表示 1 與大於 1 的最小浮點值差，值爲 $2^{-52}$ ，當值小於 Number.EPSILON 時，通常可忽略不計

浮點數精度

舍入

尾數位只能存儲 52 位，可是在 0~1 之間的實數是無窮盡的，這些無窮的數該如何表示呢？既然徹底表示不可能完成，那麼只有捨棄掉某些數值，來找出最近的浮點數匹配。那麼到底採用哪一種舍入方法呢？下面介紹經常使用的舍入方法

向偶數舍入：也稱爲向最接近值舍入
向零舍入：捨棄末尾位之外的數值，能夠按照 Math.trunc 理解
向正無窮舍入：向較大的數舍入，能夠按照 Math.ceil 理解
向負無窮舍入：向較小的數舍入，能夠按照 Math.floor 理解

IEEE754 採用的是 向偶數舍入，原則是保證損失精度最小，下面簡單介紹一下舍入規則

對於恰巧中間值的狀況，若是保留位數最後一位是偶數則捨棄後續數值，奇數則進位。例如保留 1/2 爲，保留 1/2 爲
對於向上的值較近，則進位。如保留 1/2 爲
對於向下的值較近，則捨棄。如保留 1/2 爲

舉個栗子：

0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001100 | 110011...
// 因爲須要保留的最後一位數後爲 110011...，舍入時離向上的值較近，應該進位，因此
0.1 => 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
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"|" 表示在該處須要舍入

tips：若是你實在沒法判斷如何舍入，有個簡單的辦法。先向下舍入，與原數相減；再向上舍入，與原數相減，將兩個差值比較，取差值絕對值較小的那個數；若是差值相等，則取末尾爲偶數的那個數

計算

爲了進一步保證精度，IEEE754 標準，雙精度在中間計算時，額外保留三位，分別是 保護位、舍入位、粘貼位

保護位：精度最低位右側一位（雙精度能夠理解爲尾數的第 53 位）
舍入位：保護位右側一位
粘貼位：舍入位右側一位，表明舍入位右側是否還有數據，若是右側還有數據，則粘貼位爲 1，不然爲 0，目的是爲了支持目標數值向最近的偶數舍入

在浮點數計算時，經過額外保存三位，來增長計算的正確性，找到浮點數最接近的匹配。

模擬 0.1 + 0.2 計算

講了那麼多，最後仍是簡單寫一下 0.1 + 0.2 的二進制計算過程。

0.1：S = 0，E = -4，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 對階 小階對大階
0.1：S = 0，E = -3，M = 0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2：S = 0，E = -3，M = 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 將 M 值相加
和爲：10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110

計算出的0.3：S = 0，E = -3，M = 10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110

// 規格化
計算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011 | 10

// 計算時，右邊多保留兩位，此處保護位 = 1，舍入位 = 0，粘貼位 = 0
// 舍入後
計算出的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100
浮點數的0.3：S = 0，E = -2，M = 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011

// 轉換10進制
計算出的0.3 = 0.30000000000000004
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