04 解鏈式法則和乘積法則

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咱們如今上一章節中，學習了冪次函數求導法和正弦函數求導。而且使用圖像法更加直觀的理解了這些運算過程。

當時想用這些求導公式在現實生活中運用，咱們須要對這些公式進行混合、組合、調整。因此咱們學習一下更復雜的組合函數如何求導。

爲了不死記硬背，咱們仍是會使用一些像圖像法這樣更加直觀的方式來理解這些公式。

上面包括了最多見的三種函數組合求導方式。函數相加求導，函數相乘求導，和複合函數求導。

瞭解了這三種求導方式，咱們就能運用這三種公式將將一個複雜的組合一層一層的剝開，而後最終求得結果。

加法法則相對簡單，咱們先從這個法則開始：

如今咱們將sin(x)和x²的函數曲線繪製出】那麼，咱們在座標系中獲得兩個函數曲線，讓後將每個點上的值都相加咱們會獲得一個新的函數曲線就是f(x)=sin(x)+x²的函數曲線：

咱們先取一個函數中一個點的值好比0.5，咱們獲得f(0.5)=sin(0.5)+0.5²

咱們給x一個微小的變化值：dx那麼df=d(sin(x))+d(x²)

df/dx=d(sin(x))/dx+d(x²)/dx：

由此咱們能夠清晰的看到求導的加法法則：

 

不過乘積法則可不是是相似規律d(f(x)*g(x))≠(dg/dx)*(dh/dx)

咱們仍是以sin(x)*x²爲例子：

 

這個新獲得的乘積函數曲線就無法像相加那麼直觀的找到規律了。

不過，面對兩個數字相乘，在幾何學上的意義正好是求矩形面積，使用這個方法，幾何求解發也許能更加直觀的理解乘積法則。

咱們想象一個矩形，他的一個邊隨着x的變化呈現出正弦函數的變化規則，另一個邊則呈現出二次冪方程的變化規則：

咱們能夠看到，f(x)隨着x值的變化而產生的變化，與這個矩形面積隨着x值的變化而產生的變化值是一致的。

不過，當x產生變化的時候到底發生了什麼，好像仍是不是很好理解。

咱們在旁邊加上一個標尺，標出隨着x的變化，矩形形狀的變化也許能更加直觀一些當，值發生變化時：

總之隨着x的增長，一個邊像正弦函數同樣，在1到-1之間來回擺動。另一個邊則快速的以自身平方的速度增長。

那麼當x的值產生一個微小的變化時，這個矩形的面積也隨之產生了微小的變化：

嗯，仍是那個熟悉的味道。

圖中右側橫着的綠色方塊它的寬度就是sin(x)的值。高度是x²隨着x的變化而產生的變化，也就是d(x²)。這個方塊的面積就是sin(x)*d(x²)

圖中右側豎着的綠色方塊它的寬高就是x²的值。高度是sin(x)隨着x的變化而產生的變化，也就是d(sin(x))。這個方塊的面積就是x²*d(sin(x))

而最右側的小方塊則再一次的被忽略。

那麼總的面積變化就是sin(x)*d(x²)+x²*d(sin(x))，咱們知道面積與f(x)是相等的則

df=sin(x)*d(x²)+x²*d(sin(x))

因此咱們獲得了乘積公式：

 

如今再來看複合函數。

 

咱們拿f(x)=sin(x²)這個符合函數爲例子。 

這回以前的兩種方式都沒法直觀的用在這個函數上了。

將f(x)拆解一下。

f(x)=g(h(x)) 

h(x)=x²

g(x)=sin(x)

而後咱們換一種可視化的方式來分析這個問題。

第一條線表明的是x的變化。

第二條線則是由對應的h(x)函數值。

第三條線是對應的f(x)函數值。

當x在原來的基礎上產生了微小變化dx的時候。

在第二條線上產生的變化dh=2x*dx

這個變化再傳導到第三條線，df=d(sin(h))=cos(h)*dh=cos(h)*2xdx=cos(x²)*2x*dx

df/dx=cos(x²)*2x

因此經過鏈式法則，咱們看到，

dg(h(x))/dx=dh(x)*d(g(h(x)))

dg(h(x))/dx=(dg/dh)*(dh/dx)=dg/dx=dg/dx