計算機程序的思惟邏輯 (45) - 神奇的堆

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前面幾節介紹了Java中的基本容器類，每一個容器類背後都有一種數據結構，ArrayList是動態數組，LinkedList是鏈表，HashMap/HashSet是哈希表，TreeMap/TreeSet是紅黑樹，本節介紹另外一種數據結構 - 堆。

引入堆

以前咱們提到過堆，那裏，堆指的是內存中的區域，保存動態分配的對象，與棧相對應。這裏的堆是一種數據結構，與內存區域和分配無關。

堆是什麼結構呢？這個咱們待會再細看。咱們先來講明，堆有什麼用？爲何要介紹它？

堆能夠很是高效方便的解決不少問題，好比說：

• 優先級隊列，咱們以前介紹的隊列實現類LinkedList是按添加順序排隊的，但現實中，常常須要按優先級來，每次都應該處理當前隊列中優先級最高的，高優先級的，即便來得晚，也應該被優先處理。
• 求前K個最大的元素，元素個數不肯定，數據量可能很大，甚至源源不斷到來，但須要知道到目前爲止的最大的前K個元素。這個問題的變體有：求前K個最小的元素，求第K個最大的，求第K個最小的。
• 求中值元素，中值不是平均值，而是排序後中間那個元素的值，一樣，數據量可能很大，甚至源源不斷到來。

堆還能夠實現排序，稱之爲堆排序，不過有比它更好的排序算法，因此，咱們就不介紹其在排序中的應用了。

Java容器中有一個類PriorityQueue，就表示優先級隊列，它實現了堆，下節咱們會詳細介紹。關於後面兩個問題，它們是如何使用堆高效解決的，咱們會在接下來的幾節中用代碼實現並詳細解釋。

說了這麼多好處，堆究竟是什麼呢？

堆的概念

徹底二叉樹

堆首先是一顆二叉樹，但它是徹底二叉樹。什麼是徹底二叉樹呢？咱們先來看另外一個類似的概念，滿二叉樹。

滿二叉樹是指，除了最後一層外，每一個節點都有兩個孩子，而最後一層都是葉子節點，都沒有孩子。好比，下圖兩個二叉樹都是滿二叉樹。

滿二叉樹必定是徹底二叉樹，但徹底二叉樹不要求最後一層是滿的，但若是不滿，則要求全部節點必須集中在最左邊，從左到右是連續的，中間不能有空的。好比說，下面幾個二叉樹都是徹底二叉樹：

而下面的這幾個則都不是徹底二叉樹：

編號與數組存儲

在徹底二叉樹中，能夠給每一個節點一個編號，編號從1開始連續遞增，從上到下，從左到右，以下圖所示：

徹底二叉樹有一個重要的特色，給定任意一個節點，能夠根據其編號直接快速計算出其父節點和孩子節點編號，若是編號爲i，則父節點編號即爲i/2，左孩子編號即爲2*i,右孩子編號即爲2*i+1。好比，對於5號節點，父節點爲5/2即2，左孩子爲2*5即10，右孩子爲2*5+1即11。

這個特色爲何重要呢？它使得邏輯概念上的二叉樹能夠方便的存儲到數組中，數組中的元素索引就對應節點的編號，樹中的父子關係經過其索引關係隱含維持，不須要單獨保持。好比說，上圖中的邏輯二叉樹，保存到數組中，其結構爲：

父子關係是隱含的，好比對於第5個元素13，其父節點就是第2個元素15，左孩子就是第10個元素7，右孩子就是第11個元素4。

這種存儲二叉樹的方法與以前介紹的TreeMap是不同的，在TreeMap中，有一個單獨的內部類Entry，Entry有三個引用，分別指向父節點、左孩子、右孩子。

使用數組存儲，優勢是很明顯的，節省空間，訪問效率高。

最大堆/最小堆

堆邏輯概念上是一顆徹底二叉樹，而物理存儲上使用數組，除了這兩點，堆還有必定的順序要求。

以前介紹過排序二叉樹，排序二叉樹是徹底有序的，每一個節點都有肯定的前驅和後繼，並且不能有重複元素。

與排序二叉樹不一樣，在堆中，能夠有重複元素，元素間不是徹底有序的，但對於父子節點之間，有必定的順序要求，根據順序分爲兩種堆，一種是最大堆，另外一種是最小堆。

最大堆是指，每一個節點都不大於其父節點。這樣，對每一個父節點，必定不小於其全部孩子節點，而根節點就是全部節點中最大的，對每一個子樹，子樹的根也是子樹全部節點中最大的。

最小堆與最大堆正好相反，每一個節點都不小於其父節點。這樣，對每一個父節點，必定不大於其全部孩子節點，而根節點就是全部節點中最小的，對每一個子樹，子樹的根也是子樹全部節點中最小的。

咱們看下圖示：

堆概念總結

總結來講，邏輯概念上，堆是徹底二叉樹，父子節點間有特定順序，分爲最大堆和最小堆，最大堆根是最大的，最小堆根是最小的，堆使用數組進行物理存儲。

這個數據結構爲何就能夠高效的解決以前咱們說的問題呢？在回答以前，咱們須要先看下，如何在堆上進行數據的基本操做，在操做過程當中，如何保持堆的屬性不變。

堆的算法

下面，咱們來看下，如何在堆上進行數據的基本操做。最大堆和最小堆的算法是相似的，咱們以最小堆來講明。先來看如何添加元素。

添加元素

若是堆爲空，則直接添加一個根就好了。咱們假定已經有一個堆了，要在其中添加元素。基本步驟爲：

1. 添加元素到最後位置。
2. 與父節點比較，若是大於等於父節點，則知足堆的性質，結束，不然與父節點進行交換，而後再與父節點比較和交換，直到父節點爲空或者大於等於父節點。

咱們來看個例子。下面是初始結構：

添加元素3，第一步後，結構變爲：

3小於父節點8，不知足最小堆的性質，因此與父節點交換，會變爲：

交換後，3仍是小於父節點6，因此繼續交換，會變爲：

交換後，3仍是小於父節點，也是根節點4，繼續交換，變爲：

這時，調整就結束了，樹保持了堆的性質。

從以上過程能夠看出，添加一個元素，須要比較和交換的次數最多爲樹的高度，即log2(N)，N爲節點數。

這種自低向上比較、交換，使得樹從新知足堆的性質的過程，咱們稱之爲siftup。

從頭部刪除元素

在隊列中，通常是從頭部刪除元素，Java中用堆實現優先級隊列，咱們來看下如何在堆中刪除頭部，其基本步驟爲：

1. 用最後一個元素替換頭部元素，並刪掉最後一個元素。
2. 將新的頭部與兩個孩子節點中較小的比較，若是不大於該孩子節點，則知足堆的性質，結束，不然與較小的孩子進行交換，交換後，再與較小的孩子比較和交換，一直到沒有孩子，或者不大於兩個孩子節點。這個過程咱們般稱爲siftdown。

咱們來看個例子。下面是初始結構：

執行第一步，用最後元素替換頭部，會變爲：

如今根節點16大於孩子節點，與更小的孩子節點6進行替換，結構會變爲：

16仍是大於孩子節點，與更小的孩子8進行交換，結構會變爲：

此時，就知足堆的性質了。

從中間刪除元素

那若是須要從中間刪除某個節點呢？與從頭部刪除同樣，都是先用最後一個元素替換待刪元素。不過替換後，有兩種狀況，若是該元素大於某孩子節點，則需向下調整(siftdown)，不然，若是小於父節點，則需向上調整(siftup)。

咱們來看個例子，刪除值爲21的節點，第一步以下圖所示：

替換後，6沒有子節點，小於父節點12，執行向上調整siftup過程，最後結果爲：

咱們再來看個例子，刪除值爲9的節點，第一步以下圖所示：

交換後，11大於右孩子10，因此執行siftdown過程，執行結束後爲：

構建初始堆

給定一個無序數組，如何使之成爲一個最小堆呢？將普通無序數組變爲堆的過程咱們稱之爲heapify。

基本思路是，從最後一個非葉子節點開始，一直往前直到根，對每一個節點，執行向下調整siftdown。換句話說，是自底向上，先使每一個最小子樹爲堆，而後每對左右子樹和其父節點合併，調整爲更大的堆，由於每一個子樹已經爲堆，因此調整就是對父節點執行siftdown，就這樣一直合併調整直到根。這個算法的僞代碼是：

void heapify() {
    for (int i=size/2; i >= 1; i--)
        siftdown(i);
}
複製代碼

size表示節點個數, 節點編號從1開始，size/2表示第一個非葉節點的編號。

這個構建的時間效率爲O(N)，N爲節點個數，具體就不證實了。

查找和遍歷

在堆中進行查找沒有特殊的算法，就是從數組的頭找到尾，效率爲O(N)。

在堆中進行遍歷也是相似的，堆就是數組，堆的遍歷就是數組的遍歷，第一個元素是最大值或最小值，但後面的元素沒有特定的順序。

須要說明的是，若是是逐個從頭部刪除元素，堆能夠確保輸出是有序的。

算法小結

以上就是堆操做的主要算法：

• 在添加和刪除元素時，有兩個關鍵的過程以保持堆的性質，一個是向上調整(siftup)，另外一個是向下調整(siftdown)，它們的效率都爲O(log2(N))。由無序數組構建堆的過程heapify是一個自底向上循環的過程，效率爲O(N)。
• 查找和遍歷就是對數組的查找和遍歷，效率爲O(N)。

小結

本節介紹了堆這一數據結構的基本概念和算法。

堆是一種比較神奇的數據結構，概念上是樹，存儲爲數組，父子有特殊順序，根是最大值/最小值，構建/添加/刪除效率都很高，能夠高效解決不少問題。

但在Java中，堆究竟是如何實現的呢？本文開頭提到的那些問題，用堆到底如何解決呢？讓咱們在接下來的幾節中繼續探索。

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