不要被階乘嚇倒[轉]

時間 2019-11-06

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http://www.kuqin.com/algorithm/20080505/7874.htmlhtml

階乘（Factorial）是個頗有意思的函數，可是很多人都比較怕它，咱們來看看兩個與階乘相關的問題：java

1. 給定一個整數N，那麼N的階乘N！末尾有多少個0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有兩個0。面試

2. 求N！的二進制表示中最低位1的位置。算法

解答：編程

有些人碰到這樣的題目會想：是否是要完整計算出N！的值？若是溢出怎麼辦？事實上，若是咱們從「哪些數相乘能獲得10」這個角度來考慮，問題就變得簡單了。函數

首先考慮，若是N！= K×10^M，且K不能被10整除，那麼N！末尾有M個0。再考慮對N！進行質因數分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，因爲10 = 2×5，因此M只跟X和Z相關，每一對2和5相乘能夠獲得一個10，因而M = min（X, Z）。不難看出X大於等於Z，由於能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數高得多，因此把公式簡化爲M = Z。工具

根據上面的分析，只要計算出Z的值，就能夠獲得N！末尾0的個數。ui

【問題1的解法一】spa

要計算Z，最直接的方法，就是計算i（i =1, 2, …, N）的因式分解中5的指數，而後求和：.net

代碼清單2-6

 1 ret = 0;
 2 for(i = 1; i <= N; i++)
 3 {
 4     j = i;
 5     while(j % 5 ==0)
 6     {
 7         ret++;
 8         j /= 5;
 9     }
10 }

【問題1的解法二】

公式：Z = [N/5] +[N/5²] +[N/5³] + …（不用擔憂這會是一個無窮的運算，由於總存在一個K，使得5^K > N，[N/5^K]=0。）

公式中，[N/5]表示不大於N的數中5的倍數貢獻一個5，[N/5²]表示不大於N的數中5²的倍數再貢獻一個5，……代碼以下：

1 ret = 0;
2 while(N)
3 {
4     ret += N / 5;
5     N /= 5;
6 }

問題2要求的是N！的二進制表示中最低位1的位置。給定一個整數N，求N！二進制表示的最低位1在第幾位？例如：給定N = 3，N！= 6，那麼N！的二進制表示（1 010）的最低位1在第二位。

爲了獲得更好的解法，首先要對題目進行一下轉化。

首先來看一下一個二進制數除以2的計算過程和結果是怎樣的。

把一個二進制數除以2，實際過程以下：

判斷最後一個二進制位是否爲0，若爲0，則將此二進制數右移一位，即爲商值（爲何）；反之，若爲1，則說明這個二進制數是奇數，沒法被2整除（這又是爲何）。

因此，這個問題實際上等同於求N！含有質因數2的個數。即答案等於N！含有質因數2的個數加1。

【問題2的解法一】

因爲N! 中含有質因數2的個數，等於 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …[1]，

根據上述分析，獲得具體算法，以下所示：

代碼清單2-7

 1 int lowestOne(int N)
 2 {
 3     int Ret = 0;
 4     while(N)
 5     {
 6         N >>= 1;
 7         Ret += N;
 8     }
 9     return Ret;
10 }

【問題2的解法二】

N！含有質因數2的個數，還等於N減去N的二進制表示中1的數目。咱們還能夠經過這個規律來求解。

下面對這個規律進行舉例說明，假設 N = 11011，那麼N!中含有質因數2的個數爲 N/2 + N/4 +N/8 + N/16 + …

即： 1101 + 110 + 11 + 1

=（1000 + 100 + 1）

+（100 + 10）

+（10 + 1）

+ 1

=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1

= 1111 + 111 + 1

=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）

= 11011-N二進制表示中1的個數

小結

任意一個長度爲m的二進制數N能夠表示爲N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 2² + … + b[m] * 2^(m^-1)，其中b [ i ]表示此二進制數第i位上的數字（1或0）。因此，若最低位b[1]爲1，則說明N爲奇數；反之爲偶數，將其除以2，即等於將整個二進制數向低位移一位。

相關題目

給定整數n，判斷它是否爲2的方冪（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。

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[1] 這個規律請讀者本身證實（提示N/k，等於1, 2, 3, …, N中能被k整除的數的個數）。

網友： Bleakxanadu

一、分解出N！中素數5的個數；

二、分解出N！中2的個數

網友： jijunchao@gmail

今天上午上課又想了想這個問題，對第二個問題也有解法了。

第一題：0的個數等於n/5；

第二題：對於二進制的乘法，要求最低位1的位置，也就是求末尾有幾個0，根據乘法規則，只有乘數末尾帶有0，結果纔會增長0，也就是偶數參與乘法時，末尾的0纔會增長。並且還有個規律，對於2的n次方，它的階乘二進制中最低位1的位置就等於它自己，例如，4的階乘爲24，表示爲11000，最低位1的位置從右邊算起就是第4位。根據這一規律，我寫了一個小算法來求出最低位1的位置，要求輸入n，輸出1的位置。

 1 int find(int n) 
 2 { 
 3          int out,i;
 4          if(n==1)       //1!=1
 5                    out=1;
 6          else if(n==2)  //2!=2  二進制10
 7                    out=2;
 8          else if(n==0) //0!=1,若是我沒記錯的話...
 9                    out=1;
10          else
11          {
12                    for(i=1;!(n/(i*=2)<2););  //求出最逼近n是2的幾回方
13                    out=i-1+find(n%i);        //而後遞歸求輸出位置
14          }
15          return out;
16 }  
17 void main()
18 {
19          int   i = 6;
20          printf("%d",find(i));
21         getchar();  
22 }