Dijkstra算法(樸素實現、優先隊列優化)

時間 2019-12-23

原文原文鏈接

　　Dijkstra算法只能求取邊的權重爲非負的圖的最短路徑，而Bellman-Ford算法能夠求取邊的權重爲負的圖的最短路徑（但Bellman-Ford算法在圖中存在負環的狀況下，最短路徑是不存在的（負無窮））。html

算法原理

　　Dijkstra算法本質上是一種貪心算法，1959年，Edsger Dijkstra提出了該算法用於解決單源最短路徑問題，即在給定每條邊的長度\(\mathcal{l}\)，求取源節點s到其它全部節點的最短路徑。Dijkstra算法維護一個節點集合S，S中的節點到源點的最短距離d已經肯定了，即「Explored」。c++

　　初始化時，\(S={s},d(s)=0\)，接下來開始循環，對於每個節點\(v\in V-S\)，選出到集合S的距離最近的節點\(v^*\)，即最小化下面這個問題：
\begin{equation}
d'(v)=\min_{e=(u,v):u\in S}d(u)+\mathcal{l}_e
\end{equation}
咱們將\(v^*\)加入到集合S，並定義\(d(v^*)=d'(v^*)\)。而後繼續下一次循環。算法

　　算法僞代碼以下：
api

圖1 Dijkstra算法僞代碼

複雜度分析

樸素實現

　　每次while循環，將1個節點加入集合S中，因此共n-1次外層循環。對於一個有m條邊的圖而言，求解式(1)最壞狀況下，須要遍歷全部的邊，即須要\(\mathcal{O}(m)\)的時間複雜度，因此程序總體的時間複雜度爲\(\mathcal{O}(mn)\)。若是看下文例題中POJ2387的樸素實現，可能會發現算法複雜度是\(\mathcal{O}(n^2)\)，不是\(\mathcal{O}(mn)\)。但其實在例題中，在輸入時，每兩個節點間只有一條邊相連（若是有多條，則只保留最短的一條），另外，每次將節點v_opt新加入S中時，咱們會更新v_opt節點相鄰的節點的\(d'(v)\)的值，並將其存儲在數組中。從而每次求解式(1)時，咱們只須要遍歷非S集合的節點的\(d'(v)\)值，就能獲得式(1)的答案，從而下降了求解式(1)的複雜度（降爲\(\mathcal{O}(n)\)），總體複雜度降爲\(\mathcal{O}(n^2)\)，而對於通常狀況，理論上的複雜度就是\(\mathcal{O}(mn)\)。數組

優先隊列優化

　　上文中提到將非S集合的節點的\(d'(v)\)值存儲在數組裏，每次遍歷數組獲得式(1)的答案（即\(d'(v)\)的最小值），而這一個地方還能夠進一步優化，採起優先隊列存儲非S集合的節點，節點對應的\(d'(v)\)做爲鍵值，若採用二叉堆實現優先隊列（能夠參考優先隊列及（二叉）堆），每次只須要\(\mathcal{O}(\log n)\)的時間便可求得\(d'(v)\)的最小值（獲得最小值後需刪除該值）。函數

　　優先隊列實現的僞代碼以下：
優化

圖2 Dijkstra優先隊列實現算法僞代碼
　　若圖有n個節點，m條邊( \(m\ge n\))，該算法對每一個節點調用一個INSERT操做和DEL-MIN操做。for循環總共有m次，調用DECREASE-KEY最多有m次，而每次INSERT、DEL-MIN、DECREASE-KEY操做的時間都是 \(\mathcal{O}(\log n)\)，則整體而言時間爲 \(\mathcal{O}((n+m)\log n)\)。對於稀疏圖而言，即若 \(m=o(n^2/\log n)\) \(^{[2]}\)，整體時間爲 \(\mathcal{O}(m\log n)\)，較樸素實現是有明顯改善的。

例題

POJ2387

　　典型Dijkstra模板題，須要注意不一樣landmark(節點)間的路徑可能有多條，這是一個WA點，若用鄰接矩陣存儲圖，解決辦法是隻保留最短的一條路徑。若用鄰接表存儲圖，則不須要對重複邊進行特別處理。spa

樸素實現

　　用explored數組來標記是否屬於集合S，外層for循環共執行n次，每次標記一個節點，循環內遍歷非S集合的節點，求出到S集合的距離最短的節點v_opt，而後更新與v_opt相鄰的節點\(d'(v)\)（即distance數組）的值。總體複雜度\(\mathcal{O}(n^2)\)設計

Result: 4280kB, 125ms. 提及來POJ的Time不是很固定啊，一樣的代碼，上次是63ms，此次是125ms。code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <limits.h>
#include <queue>

int t, n;
int adjacency_matrix[1005][1005];
int distance[1005];
int explored[1005];//標記是否屬於集合S

void DijkstraSimple() {
    distance[n] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//每次將一個節點加入S，共循環n次
        int min = 0x3f3f3f3f;
        int v_opt;//最小化式(1)的節點
        for (int v = 1; v <= n; v++)//找出S集合中最小化式(1)的節點
            if (!explored[v] && distance[v] < min) {
                min = distance[v];
                v_opt = v;
            }
        explored[v_opt] = 1;
        for (int v = 1; v <= n; v++)
            if (!explored[v])//v未添加進集合S且v_opt、v之間有邊相連
                distance[v] = std::min(distance[v], distance[v_opt] + adjacency_matrix[v_opt][v]);
    }
}

int main() {
    while (scanf("%d %d", &t, &n) != EOF) {
        memset(adjacency_matrix, 0x3f, sizeof(adjacency_matrix));
        memset(distance, 0x3f, sizeof(distance));
        memset(explored, 0, sizeof(explored));
        int u, v, length;
        for (int i = 1; i <= t; i++) {
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &length);
            if (adjacency_matrix[u][v] > length) {//兩個landmark之間可能有多條路，這是一個WA點，有多條路時，取length最小的路
            adjacency_matrix[u][v] = length;
            adjacency_matrix[v][u] = length;
            }
        }
        DijkstraSimple();
        printf("%d\n", distance[1]);
    }
    return 0;
}

優先隊列實現

　　圖2優先隊列實現的僞代碼中，要求經過decrease_key函數改變特定節點\(v\)的鍵值，但實際上，正如個人優先隊列及（二叉）堆這篇博客中提到的，優先隊列的基本操做並不包含改變特定節點的鍵值。在優先隊列及（二叉）堆庫函數實現小節中，我也提到能夠經過維護一個position數組來實現改變特定節點的鍵值。下列代碼正是基於這種思路實現改變特定節點的鍵值。

　　Result: 388kB, 16ms; 388kB, 32ms. POJ的Time確實不太穩定，一樣的代碼，隔十分鐘提交的結果就不太同樣。可是相對樸素實現速度提升不少。

/*
    本身實現的堆算法，經過position記錄下元素在堆（數組）中的位置，能夠直接更改特定編號的元素的鍵值
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

//上限
#define N (1000 + 10)
#define M (4000 + 10)//無向圖，應大於邊數量的2倍

#define parent(i) (int)floor(i/2)
#define left(i) i * 2
#define right(i) i * 2 + 1

struct element {
    int number;//元素編號
    int key;//元素鍵值
    element() {}
    element(int number, int key) : number(number), key(key) {}
};
element A[N];//存儲最小堆
int position[N];//存儲元素在堆(數組)中的位置
int min_heap_size;
int explored[N];//標記是否屬於集合S
int distance[N];//距源點的最短距離

int t, n;
struct edge {//經過鏈表存儲邊
    int v, length, next;
};
edge e[M];
int head[N];//節點的第一條邊在e數組中位置
int num_of_edges;

int add_edge(int u, int v, int length1, int length2) {
    int& i = num_of_edges;

    e[i].v = v;
    e[i].length = length1;
    e[i].next = head[u];
    head[u] = i++;

    e[i].v = u;
    e[i].length = length2;
    e[i].next = head[v];
    head[v] = i++;
    return i;
}

template<class T> void exchange(element* array, int i, int j) {
    position[A[i].number] = j;//交換二者的位置
    position[A[j].number] = i;
    T temp = array[i];//交換兩者的數據
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
}

//最小堆
void heap_decrease_key(int i, int key) {
    if (key > A[i].key)
        printf("error: new key is bigger than current key.");
    A[i].key = key;
    while (i > 1 && A[parent(i)].key > A[i].key)
    {
        exchange<element>(A, i, parent(i));
        i = parent(i);
    }
}

void min_heap_insert(element elem) {
    min_heap_size++;
    A[min_heap_size].number = elem.number;
    A[min_heap_size].key = 0x3f3f3f3f;
    position[elem.number] = min_heap_size;//記錄下位置
    heap_decrease_key(min_heap_size, elem.key);
}

element heap_minimum() {
    return A[1];
}

void min_heapify(int i) {
    int l = left(i), r = right(i);
    int smallest = i;
    if (l <= min_heap_size && A[l].key < A[i].key)
        smallest = l;
    if (r <= min_heap_size && A[r].key < A[smallest].key)
        smallest = r;
    if (smallest != i) {
        exchange<element>(A, i, smallest);
        min_heapify(smallest);
    }
}

element heap_extract_min(void) {
    element min = A[1];
    position[A[min_heap_size].number] = 1;//heap_size位置的挪到1的位置
    A[1] = A[min_heap_size];
    min_heap_size--;
    min_heapify(1);
    return min;
}

void DijkstraPriorityQueue() {
    min_heap_insert(element(n, 0));
    distance[n] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)//將全部節點都放入優先隊列中
        min_heap_insert(element(i, 0x3f3f3f3f));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//每次把一個節點從優先隊列中取出加入到S中，外層循環n次
        element front_elem = heap_extract_min();
        int u = front_elem.number;
        explored[u] = 1;
        distance[u] = front_elem.key;
        for (int j = head[u]; j >= 0; j = e[j].next) {//遍歷u出發的全部邊
            int v = e[j].v;
            if (explored[v])
                continue;
            if (A[position[v]].key > distance[u] + e[j].length)
                heap_decrease_key(position[v], distance[u] + e[j].length);
        }
    }
}

void Init() {
    min_heap_size = 0;
    memset(position, -1, sizeof(position));
    memset(explored, 0, sizeof(explored));
    memset(distance, 0x3f, sizeof(distance));
    num_of_edges = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}

int main() {
    while (scanf("%d %d", &t, &n) != EOF){
        Init();
        int u, v, length;
        for (int i = 1; i <= t; i++) {
            scanf("%d %d %d", &u, &v, &length);
            add_edge(u, v, length, length);
        }
        DijkstraPriorityQueue();
        printf("%d\n", distance[1]);
    }
    return 0;
}