二叉樹、前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷

1、樹

在談二叉樹前先談下樹和圖的概念

樹：不包含迴路的連通無向圖（樹是一種簡單的非線性結構）

樹有着不包含迴路這個特色，因此樹就被賦予了不少特性

一、一棵樹中任意兩個結點有且僅有惟一的一條路徑連通

二、一棵樹若是有n個結點，那它必定剛好有n-1條邊

三、在一棵樹中加一條邊將會構成一個迴路

四、樹中有且僅有一個沒有前驅的結點稱爲根結點

 

在對樹進行討論的時候將樹中的每一個點稱爲結點，

根結點：沒有父結點的結點

葉結點：沒有子結點的結點

內部結點：一個結點既不是根結點也不是葉結點

每一個結點還有深度，好比上圖左邊的樹的4號結點深度是3（深度是指從根結點到這個結點的層數，根結點爲第一層）

 

2、二叉樹

 

基本概念：

二叉樹是一種非線性結構，二叉樹是遞歸定義的，其結點有左右子樹之分

二叉樹的存儲結構：

二叉樹一般採用鏈式存儲結構，存儲結點由數據域和指針域（指針域：左指針域和右指針域）組成，二叉樹的鏈式存儲結構也稱爲二叉鏈表，對滿二叉樹和徹底二叉樹可按層次進行順序存儲

 

特色：

一、每一個結點最多有兩顆子樹

二、左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒

三、即便某結點只有一個子樹，也要區分左右子樹

四、二叉樹可爲空，空的二叉樹沒有結點，非空二叉樹有且僅有一個根節點

二叉樹中有兩種特殊的二叉樹：滿二叉樹、徹底二叉樹

 

滿二叉樹：二叉樹中每一個內部結點都有存在左子樹和右子樹（或者說滿二叉樹全部的葉結點都有一樣的深度）

滿二叉樹必定是徹底二叉樹，但徹底二叉樹不必定是滿二叉樹

（滿二叉樹的嚴格的定義是：一顆深度爲h且有2^h-1個結點的二叉樹）

 

（圖片來源：https://www.cnblogs.com/polly333/p/4740355.html）

 

 徹底二叉樹：

第一種解釋：若是一顆二叉樹除最右邊位置上有一個或幾個葉結點缺乏外，其餘是豐滿的那麼這樣的二叉樹就是徹底二叉樹（這句話不太好理解），看下面第二種解釋

第二種解釋：除第h層外，其餘各層（1到h-1）的結點數都達到最大個數，第h層從右向左連續缺若干結點，則這個二叉樹就是徹底二叉樹

也就是說若是一個結點有右子結點，那麼它必定也有左子結點

第三種解釋：除最後一層外，每一層上的節點數均達到最大值，在最後一層上只缺乏右邊的若干結點

徹底二叉樹的形狀相似於下圖

 

爲了方便理解請看下圖（我的理解：徹底二叉樹就是從上往下填結點，從左往右填，填滿了一層再填下一層）

 

（圖片來源：http://www.javashuo.com/article/p-cborfyti-dq.html）

 

二叉樹相關詞語解釋：

結點的度：結點擁有的子樹的數目

葉子結點：度爲0的結點（tips：在任意一個二叉樹中，度爲0的葉子結點老是比度爲2的結點多一個）

分支結點：度不爲0的結點

 

樹的度：樹中結點的最大的度

層次：根結點的層次爲1，其他結點的層次等於該結點的雙親結點的層次加1

樹的高度：樹中結點的最大層次

 

二叉樹基本性質：

性質1：在二叉樹的第k層上至多有2^k-1個結點（k>=1）

性質2：在深度爲m的二叉樹至多有2^m-1個結點

性質3：對任意一顆二叉樹，度爲0的結點（即葉子結點）老是比度爲2的結點多一個

性質4：具備n個結點的徹底二叉樹的深度至少爲[log2n]+1，其中[log2n]表示log2n的整數部分

 

 

存儲方式

 

存儲的方式和圖同樣，有鏈表和數組兩種，用數組存訪問速度快，但插入、刪除節點操做就比較費時了。實際中更多的是用鏈來表示二叉樹（下面的實現代碼使用的是鏈表）

 

 

 

實現代碼：

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #define N 10
 4 
 5 typedef struct node  6 {  7     char data;  8     struct node *lchild;    /* 左子樹 */
 9     struct node *rchild;    /* 右子樹 */
10 
11 }BiTNode, *BiTree; 12 
13 void CreatBiTree (BiTree *T) /* BiTree *T等價於 struct node **T */
14 { 15     char ch; 16     
17     scanf("%c", &ch); 18     if (ch == '#')    /* 當遇到#時，令樹的結點爲NULL，從而結束該分支的遞歸 */
19  { 20         *T = NULL; 21  } 22     else
23  { 24         *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); 25         if (*T == NULL) 26  { 27             printf("內存分配失敗"); 28             exit(0); 29  } 30         (*T)->data = ch;        /* 生成結點 */
31         CreatBiTree(&(*T)->lchild);    /* 構造左子樹 */
32         CreatBiTree(&(*T)->rchild);    /* 構造右子樹 */
33         /* 這裏須要注意的是->的優先級比&高，因此&(*T)->lchild獲得的是lchild的地址 */
34  } 35 
36 } 37 int main() 38 { 39     int level  = 1; 40 
41     BiTree t = NULL; 42     printf("之前序遍歷方式輸入二叉樹\n"); 43     CreatBiTree(&t);    /* 傳入指針的地址 */
44 }

上面的代碼採用的是之前序遍歷方式輸入二叉樹，當輸入「#」時，指針指向NULL，說明是改結點是葉結點

 

3、二叉樹的遍歷（前序\中序\後序遍歷）

 二叉樹的遍歷是指不重複地訪問二叉樹中全部結點，主要指非空二叉樹，對於空二叉樹則結束返回，二叉樹的遍歷主要包括前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷

前序遍歷：首先訪問根結點，而後遍歷左子樹，最後遍歷右子樹（根->左->右）

順序：訪問根節點->前序遍歷左子樹->前序遍歷右子樹

 

 1 /* 以遞歸方式 前序遍歷二叉樹 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)  3 {  4     if (t == NULL)  5  {  6         return ;  7  }  8     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);  9     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1); 10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1); 11 }

 

中序遍歷：首先遍歷左子樹，而後訪問根節點，最後遍歷右子樹（左->根->右）

順序：中序遍歷左子樹->訪問根節點->中序遍歷右子樹

 1 /* 以遞歸方式 中序遍歷二叉樹 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)  3 {  4     if (t == NULL)  5  {  6         return ;  7  }  8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);  9     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level); 10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1); 11 }

 

後序遍歷：首先遍歷左子樹，而後遍歷右子樹，最後訪問根節點（左->右->根）

順序：後序遍歷左子樹->後序遍歷右子樹->訪問根節點

 1 /* 以遞歸方式 後序遍歷二叉樹 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)  3 {  4     if (t == NULL)  5  {  6         return ;  7  }  8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);  9     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1); 10     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level); 11 }

 

 從上面能夠看出，三種遍歷方式極其類似，只是語句 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);的位置發生了變化