HDU-1423 最長公共上升子序列（LCIS）

問題描述:

給定兩個字符串x, y, 求它們公共子序列s, 知足si < sj ( 0 <= i < j < |s|).要求S的長度是全部條件序列中長度最長的.
作過最長公共子序列應該更容易明白了。

定義狀態d[i][j]表示以a數組的前i個元素，b數組的前j個元素而且以b[j]爲結尾的LCIS的長度。
首先：a[i] ！= b[j]時， d[i][j] = d[i-1][j]; 由於 d[i][j] 是以 b[j] 爲結尾的LCIS，若是 d[i][j] > 0 那麼就說明 a[1] .... a[i] 中必然有一個元素 a[k] 等於 b[j]。由於 a[k] != a[i]，那麼 a[i] 對 d[i][j] 沒有貢獻，因而咱們不考慮它照樣能得出 d[i][j] 的最優值。因此在 a[i] != b[j] 的狀況下必然有 d[i][j] = d[i-1][j]。這一點參考LCS的處理方法。

當a[i]==b[j]時， 首先，這個等於起碼保證了長度爲1的LCIS。而後咱們還須要去找一個最長的且能讓b[j]接在其末尾的LCIS。以前最長的LCIS在哪呢？首先咱們要去找的d數組的第一維必然是i-1。由於i已經拿去和b[j]配對去了，不能用了。第二維須要枚舉 b[1] ... b[j-1]了，由於你不知道這裏面哪一個最長且哪一個小於 b[j]。

狀態轉移方程：

a[i] != b[j]: d[i][j]=d[i-1][j] ；

a[i] == b[j]: d[i][j]=max(d[i-1][k]) + 1 ； （1<= k <= j-1）

不難看到，這是一個時間複雜度爲O(n^3)的DP，離平方還有一段距離。

可是，這個算法最關鍵的是，若是按照一個合理的遞推順序，max(d[i-1][k])的值咱們能夠在以前訪問 d[i][k] 的時候經過維護更新一個max變量獲得。怎麼獲得呢？首先遞推的順序必須是狀態的第一維在外層循環，第二維在內層循環。也就是算好了 d[1][n2] 再去算 d[2][1]。 若是按照這個遞推順序咱們能夠在每次外層循環的開始加上令一個max變量爲0，而後開始內層循環。當a[i]>b[j]的時候令max = d[i-1][j]。若是循環到了a[i] == b[j]的時候，則令 d[i][j] = max+1。 最後答案是 d[n1][1] ... d[n1][n2]的最大值。
舉個例子
a={1， 4， 2， 5， -12} b ={5, -12, 1, 2, 4, 5}

if(a[i] == b[j])
    d[i][j] = mx + 1;
 else  if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j]) 
            mx = d[i-1][j];
 //只有當a[i] > b[j]時，才更新mx， 保證了所求序列是上升的。

仔細看錶格會發現： 若d[i][j] > 0 的話，那麼在數組a前i個元素中必定存在ak等於b[j]. 不然說明前i個a元素中沒有與b[j]相同的元素。

//O(n^3) DP 實現
  
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m1,m2,a[505],b[505],maxx,top=1,flag;
int f[505][505];

int main()
{
    cin>>m1;
    for(int i=1;i<=m1;i++)
        cin>>a[i];
    cin>>m2;
    for(int j=1;j<=m2;j++)
        cin>>b[j];

    for(int i=1;i<=m1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m2;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(a[i]==b[j])
            {
                int Max=0;
                for(int k=1;k<=j-1;k++)
                    if(b[j]>b[k])
                        Max=max(Max,f[i-1][k]);
                f[i][j]=Max+1;
            }
        }
    }
    cout<<f[m1][m2]<<endl;
    maxx=f[m1][m2];
    for(int i=1;i<=m1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m2;j++)
        {
            if(f[i][j]==top)
            {
                cout<<a[i]<<" ";
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag==1)
        {
            top++;  flag=0; 
        }
        if(top>maxx)
            break;
    }
    return 0;
}

//O(n^2) DP 實現

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<math.h>
using namespace std;

int n1, n2, t, k;
int a[505], b[505], d[505][505];
int dp()
{
    int mx;
    for(int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        mx = 0;
        for(int j = 1; j <= n2; j++)
        {
            d[i][j] = d[i-1][j];
            if(a[i] > b[j] && mx < d[i-1][j]) mx = d[i-1][j];
            else if(a[i] == b[j])
                d[i][j] = mx + 1;
        }
    }
    mx = 0;
    for(int i = 1; i <= n2; i++)
    {
        if(d[n1][i] > mx)
             mx = d[n1][i];
    }
    return mx;
}
int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n1);
        for(int i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]);
        scanf("%d", &n2);
        for(int i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]);
        memset(d, 0, sizeof(d));
        int ans = dp();
        printf("%d\n", ans);
        if(t) printf("\n");
    }
    return 0;
}