數學：求一個數的真約數（因數）的個數及全部約數之和

  一.

    咱們知道，每一個天然數(不包括０和１)都有２個以上的因數，因數最少的是質數（也叫素數），質數的因數是１和它自己。非質數的天然數也叫合數，它們都含有３個以上（含３個）的因數。
　　一、怎樣求一個數有多少個因數？
　　對於一個已知的天然數，要求出它有多少個因數，可用下列方法：
　　首先將這個已知數分解質因數，將此數化成幾個質數冪的連乘形式，而後把這些質數的指數分別加一，再相乘，求出來的積就是咱們要的結果。
　　例如：求360有多少個因數。
　　由於360分解質因數可表示爲：360=2^3×3^2×5，２、３、５的指數分別是３、２、１，這樣３６０的因數個數可這樣計算出：
　　（３＋１）（２＋１）（１＋１）＝２４個。
　　咱們知道，360的因數有 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360正好24個，可見上述計算正確。
　　二、怎樣求出有n個因數的最小天然數？
一樣擁有n個（n爲肯定的數）因數的天然數能夠有多個不一樣的數，如何求出這些數中的最小數？
　　這是與上一個問題相反的要求，是上一題的逆運算。
　　好比求有２４個因數的最小數是多少？
　　根據上一問題解決過程的啓示，能夠這樣作，先將２４分解因式，把２４表示成幾個數連乘積的形式，再把這幾個數各減去１，做爲質數２、３、５、７......的指數，求出這些帶指數的數連乘積，試算出最小數便可。具體作法是：
　　由於：24=4×6，  24=3×8， 24=4×3×2，
　　如今分別以這三種表示法試求出目標數x：
　　（１）、２４＝４×６，４－１＝３，６－１＝５
　　  Ｘ＝2^5×3^3＝８６４
    　（２）、２４＝３×８，３－１＝２，８－１＝７
　　　Ｘ＝2^7×3^2＝１１５２
　　（３）２４＝４×３×２，4-1=3, 3-1=2, 2-1=1
　　　Ｘ＝2^3×3^2×5＝３６０
　　綜合(1)、(2)、(3)可知３６０是有２４個因數的最小數。

二。

6=2·3=(2^1)·(3^1)， 
因此6的約數的個數：1,2,3,6共4個， 也可如此算:（1+1)(1+1)=4 
全部約數的和1+3+2+6 ,也可如此算:（2^0+2^1)(3^0+3^1)

原理：由於6是由一個2個一個3組成，2能夠出現0次、1次，3能夠出現0次、1次，因此全部約數之和=(2^0+2^1)(3^0+3^1)