傅里葉變換的物理意義

用三角函數表示周期函數

傅里葉的相關理論始於下面假設：對於週期爲1的信號$f(t)$，能夠由不一樣頻率的三角函數組成，

$f(t) = \frac{a_0}{2}+\displaystyle{\sum^{\infty}_{k=1}}(a_kcos(2\pi kt)+b_ksin(2\pi kt))$

組成的基礎波形爲一個信號對，分別爲$cos(2\pi t)$以及$sin(2\pi t)$，波形的頻率覆蓋範圍爲$k=1,2,3,\cdots$（角頻率爲$2\pi k$），在這些頻率上的係數（即振幅）對爲$(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3),\cdots$。

 

 

傅里葉級數

上面的式子能夠進一步推導成傅里葉級數形式：

$f(t) = \displaystyle{\sum^{\infty}_{k=-\infty}C_ke^{2\pi ikt} }$

從這個表現形式看出，組成的基礎波形爲$e^{2\pi it}$，波形的頻率覆蓋範圍是$k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$（角頻率爲$2\pi k$），在這些頻率上的係數爲$C_0, C_{\pm 1}, C_{\pm 2}, C_{\pm 3}, \cdots$，這些係數由下面的式子獲得：

$C_k = \displaystyle{\int_{0}^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt}$

若是咱們把記錄信號在時間上的值的函數$f(t)$稱做該信號在時域上的表現的話，那麼該信號在頻率$k$上的係數$C_k$就是該信號在頻域上的表現。傅里葉係數的物理意義就是信號在對應頻率上的振幅。

 

 

傅里葉變換

爲了把傅里葉的理論應用到通常信號，咱們把週期擴展到$T\to\infty$，那麼信號$f(t)$的傅里葉級數變成：

$f(t) = \displaystyle{\lim_{T\to\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi i\frac{k}{T}t} }$

此時的傅里葉係數變成：

$C_k = \displaystyle{\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}dt }$

能夠看到因爲信號$f(t)$在$(-\infty,\infty)$上是可積的，當$T$被擴展到無窮的時候傅里葉係數$C_k$被稀釋成$0$了，所以能夠認爲通常信號在各個頻率上的傅里葉係數（振幅）爲$0$。這種結果對於咱們進行傅里葉分析是沒有用處的，所以有了以下傅里葉變換：

令

$\displaystyle{\mathcal{F} f(s) =C_k \times T = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i st}f(t)dt }$

其中$s = \frac{k}{T}$，即本來是離散的頻率$k$被擴展成了覆蓋$(-\infty,\infty)$的連續變量$s$，所以能夠獲得

$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F} f(s)e^{2\pi ist}ds }$

其中$ds = \frac{1}{T}$，$s$是能夠覆蓋全部頻率的變量。

$\displaystyle{\mathcal{F} f(s) }$就是信號$f(t)$的傅里葉變換。但此時傅里葉變換再也不具備傅里葉係數的物理意義。

 

 

傅里葉變換的物理意義

Plancherel's Formula

Plancherel's Formula有以下定義：

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{g(t)}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\overline{G(s)}\,ds}$

證實：

$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{g(t)}\,dt
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}F(s)e^{2\pi ist}\,ds \right )\overline{\left(\int_{-\infty}^{\infty}G(s')e^{2\pi is't}\,ds' \right )}\,dt \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}F(s)e^{2\pi ist}\,ds \right )\left(\int_{-\infty}^{\infty}\overline{G(s')}e^{-2\pi is't}\,ds' \right )\,dt \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\overline{G(s')}\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi i(s-s')t}\,dt\,ds'\,ds \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\overline{G(s')}\delta(s'-s)\,ds'\,ds\qquad \mathcal{F}e^{2\pi ist} = \delta(s'-s)\ ,variable\ is\ s'\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\int_{-\infty}^{\infty}\overline{G(s')}\delta(s'-s)\,ds'\,\,ds \\
&=\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\,\overline{G(s)}\,ds \qquad \delta\ shift\ theorem\\
\end{align*}$

 

Energy Spectral Density

根據Plancherel's Formula，能夠獲得

$\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\overline{f(t)}\,dt\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}F(s)\overline{F(s)}\,ds\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}|F(s)|^2\,ds
\end{align*}$

假設有一個物理實驗，目的是測量電流經過某個電阻時所產生的能量，已知電阻兩端的電勢差會隨着時間變化，爲$V(t)$，電阻的阻抗爲$R$，那麼所產生的能量爲：

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{V(t)^2}{R}dt}$

此時回顧上面所獲得的式子

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}|F(s)|^2\,ds}$

首先是等號左邊：其中信號$f(t)$能夠認爲是電勢差隨着時間的變化，若是咱們忽略電阻抗後，能夠認爲產生的能量爲$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\,dt}$。等號右邊的$s$，按照咱們前面的討論，$s$表明的就是頻率，所以$|F(s)|^2$能夠看做信號的能量在頻域上的能量密度函數（Energy Spectral Density）。以下圖，寬度爲$ds$的頻率所蘊含的能量大小爲$|F(s)|^2ds$

若是咱們對信號進行帶通濾波，那麼被過濾掉的頻率就沒法再繼續貢獻能量，ESD上就會缺乏被過濾掉的頻率所對應的區域，相應地傅里葉變換也會缺乏被過濾掉的頻率所對應的區域。