部分分式展開法

引入

從高中學習數列的時候，咱們曾經學過裂項法來將一個多項式分式裂開成多個一次分式相加的形式。

例如這樣：
\[ \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} =\dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}) \]
當分母的次數是二次的時候，咱們能比較容易地猜出來答案是怎麼樣的。但若是式子是這樣的：
\[ f(x) = \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} \]
分母次數大於 \(2\) ，或者不給出具體的 \(a_i\) 的時候，咱們就很難經過猜根的方法來獲得答案了。

觀察

爲了獲得一個通用的裂項方法，咱們先來觀察一下式子：
\[ f(x) = \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} = \dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \]
其中 \(b_i\) 都是常數。

顯然，咱們的目標是獲得一系列的係數 \(b_0, b_1, \cdots b_n\) ，那咱們要怎麼去獲得係數呢？

若是咱們把係數 \(b_i\) 當成一系列的未知數，那麼其實這是否是一個 \(n\) 元方程？分別代入 \(n\) 個不一樣的 \(x\) 的值，就能夠獲得 \(n\) 個不一樣的方程，組成一個 \(n\) 元一次方程組。

不過，難道咱們要用高斯消元去解這 \(n\) 個方程？？？咱們再仔細思考一下，什麼樣的方程組比較好解？

假如，當每一個方程都只含一個變量 \(b_i\) 的時候，就是一個普通的一元一次方程，經過移項，咱們就能夠獲得 \(b_i\) 的值了。

那麼接下來的關鍵，就是找到一個特殊的值 \(x_i\) ，去消去 \(b_i\) 外的其餘的 \(b\) 的值了。

解決

爲了在代入 \(x_i\) 的值的時候消去除 \(b_i\) 之外的 \(b\) 的值，咱們能夠先保證 \(b_i\) 的係數裏沒有 \(x\) 。

那麼這就啓發咱們，能夠兩邊乘以 \(b_i\) 的係數的分母 \(x- b_i\) 。

當 \(i = 0\) 時，式子兩邊同時乘以 \(x - b_0\) ，那麼便有以下的式子：
\[ \begin{align} \dfrac{1}{(x - a_0)(x - a_1)\cdots(x - a_n)} &= \dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \\ \dfrac{1}{(x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)} &= b_0 + \dfrac{b_1}{x-a_1}(x-a_0)+ \dfrac{b_2}{x-a_2}(x-a_0) + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n}(x-a_0) \end{align} \]
咱們再令 \(x = a_0\)，就能夠獲得其實 \(b_0\) 的值：
\[ b_0 = \dfrac{1}{(a_0 - a_1) (a_0 - a_2) \cdots (a_0 - a_n)} = \prod_{i = 1}^n\dfrac{1}{a_0 - a_i} \]
同理，當咱們要求 \(b_i\) 的時候，就有：
\[ b_i = \prod_{j = 0, j \ne i}^n\dfrac{1}{a_i - a_j} \]
至此，咱們就能夠很輕易地獲得任意 \(b_i\) 的值了。這就是部分分式展開式法。

注意

分子係數不爲1

有時候，咱們會遇到要裂項的式子裏，分子不是 \(1\) ，也就是要裂項的式子以下：
\[ f(x) = \dfrac{g(x)}{(x - a_0)(x - a_1) \cdots (x - a_n)} \]
其中 \(g(x)\) 爲一個多項式（ \(g(x)\) 次數要低於 \(n\) )。

其實經過上面的手法，咱們能夠知道，經過同樣的手法，來獲得答案。但爲何我要單獨拿出來講呢？

由於這裏涉及到一個可不能夠用部分分式展開的點，也就是我上面加粗的內容。

試想一下，咱們要獲得一個這樣的答案：
\[ \dfrac{b_0}{x-a_0} + \dfrac{b_1}{x-a_1} + \cdots+\dfrac{b_n}{x-a_n} \]
經過通分，咱們能夠很明顯地看到，分子的次數最高就是 \(n - 1\)，也就是當 \(g(x)\) 的次數高於 \(n - 1\) 的時候，咱們就不可用這個方法來獲得 \(b_i\) 了。

分母拆不成一次項相乘

由代數基本定理咱們能夠知道，任意一個多項式，均可以拆分爲多個一次或者二次項相乘。因此咱們只須要考慮分母爲二次的時候的狀況就好了。

對於二次項來講，分爲三種狀況：

1. 有兩個不一樣實數解
2. 有兩個共軛複數解
3. 有兩個相同實數解

對於1，2兩種來講，咱們能夠用一樣的方法來獲得上面的答案。可是對於第三種來講，就拆不成兩個一次的形式相加了。咱們須要轉變一下裂項的結果。

假如二次項以下：
\[ \dfrac{p(x - a)+q}{(x - a)^2} \]
那麼經過拆分，咱們能夠獲得：
\[ \dfrac{p}{x - a} + \dfrac{q}{(x - a)^2} \]
也就是說，當分母裏含有一個有兩個相同實數解的二次項的時候，須要將二次項拆開成如上的形式。

練習

1. \(\dfrac{x + 4}{x^3 + 3x^2+2x}\)
2. \(\dfrac{x + 3}{(x + 1) ^3(x + 2)}\)

小技巧：求得各個係數後，能夠令 \(x\) 等於一個還沒算過的值進行校驗等式兩邊是否相等。

（習題出自信號與《線性系統分析第四版》（吳大正主編））

答案

1. \(\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 2}\)
2. \(\dfrac{2}{(x + 1) ^3} - \dfrac{1}{x + 1}+\dfrac{1}{x + 1}-\dfrac{1}{x + 2}\)