SAGE入門：開源數學系統之集大成者

時間 2019-11-24

原文原文鏈接

本身博客上寫的入門，原文地址：http://cvnote.info/SAGE入門：開源數學系統之集大成者 php

最近在學習Sage這款開源數學軟件系統，百度了一下發現國內關注的還比較少，因此寫一個Sage的介紹吧。 html

Sage（http://www.sagemath.org）是一款相似於Maple、Matlab、Mathematica之類的數學軟件，GPL許可，項目的目標是：程序員

Mission: Creating a viable free open source alternative to Magma, Maple, Mathematica and Matlab. 編程

Sage能夠幹什麼？介紹中有這麼一句：「這款開源軟件的支持者稱Sage可以完成從12維物體到計算全球變暖效應數學模型中的降雨量的任何事情。」Sage包含了從線性代數、微積分，到密碼學、數值計算、組合數學、羣論、圖論、數論等各類初高等數學的計算功能。機器學習

Sage的一大特色是整合了衆多優秀的開源數學軟件，使用戶能夠在Sage中方便的使用這些庫中的相應功能。Sage目前整合了近一百個開源的數學庫，這其中包括著名的ATLAS、BLAS、LAPACK、Boost、GSL、SciPy等等，完整列表能夠查看這裏。函數

Sage基於並使用Python，Python程序能夠在Sage中直接運行，也能夠在Sage中使用Python的各類庫，感受就像是提供了一個包含各類數學功能的Python環境。工具

使用Sage，你能夠：學習

下載安裝Sage到本地（下載連接）
使用在線版本。Sage目前提供兩種在線平臺，分別是早期的The Sage Notebook和最近推出的SageMathCloud

下面是Sage的一些功能。 ui

Sage Notebook

地址：http://www.sagenb.org/ spa

也能夠在本地Sage命令行下使用 notebook() 開啓，至關於Maple的工做簿Worksheet，雖然看着有點簡陋，但功能仍是很強大的，能夠輸入Sage 命令，渲公式、顯示圖形等。

Sage Notebook

SageMathCloud

地址：https://cloud.sagemath.com/

SageMathCloud相似於一個在線的寫做編程平臺，註冊後能夠在裏面創建工程，編輯各類源文件。這裏創建了一個test工程，而後新建了一個.sagews（Sage Worksheet）工做簿文件，界面和Maple的worksheet很像，能夠在裏面輸入代碼，點擊運行鍵能夠顯示結果。

Sage Worksheet

雖然目前仍是beta版可是感受仍是挺好用的。除了Worksheet還能夠新建terminal，效果和本地的Linux terminal同樣,輸入 sage 能夠進入Sage命令行，用法和Python命令行很像，可使用 help() 和tutorial()產看幫助與教程。

Sage Could Terminal

基本計算

和大多數數學軟件系統同樣，很簡單易用。好比求2013的質因子：

或者矩陣求逆

符號計算

Sage的符號計算很是好用，能夠用 x = var('var_name') 聲明符號變量。例如求一個函數的積分

或者解個方程

1 2	sage : solve ( x ^ 2 + a , x ) [ x == - sqrt ( - a ) , x == sqrt ( - a ) ]

繪圖功能

好比畫出上面 f = a * sin(x) + 1 / x 在a=1時,在x=1~10的圖像。 figsize 爲圖像大小

1 2	sage : f = f . substitute ( a == 1 ) sage : plot ( f , ( x , 1 , 10 ) , figsize = 2 )

能夠獲得

Sage Plot

除了2D，Sage還支持3D繪圖，具體能夠查看文檔。

基本的數域與環

Sage支持在整數環（ ZZ）、有理數域（ QQ）、實數域（ RR）、複數域（ CC），以及更高級的多項式環、有限域（Finite Field）等集合上進行計算。這裏要順便複習一下抽象代數，好比一些簡單的概念：

 
        sage 
        : 
          
        QQ 
        . 
        gens 
        ( 
        ) 
          
        # 有理數域的單位元和零元素 
       
 
        ( 
        1 
        , 
        ) 
       
 
        sage 
        : 
          
        QQ 
        . 
        zero 
        ( 
        ) 
       
 
        0 
       
 
        sage 
        : 
          
        CC 
        . 
        gens 
        ( 
        ) 
          
        # 複數域的單位元和零元素 
       
 
        ( 
        1.00000000000000 
        * 
        I 
        , 
        ) 
       
 
        sage 
        : 
          
        CC 
        . 
        zero 
        ( 
        ) 
       
 
        0.000000000000000 
       

運算的範圍不一樣，結果也不一樣。例如：

 
        sage 
        : 
          
        ratpoly 
        . 
        < 
        t 
        > 
          
        = 
          
        PolynomialRing 
        ( 
        QQ 
        ) 
          
        # 定義ratpoly爲基於有理數域上t的多項式環 
       
 
        sage 
        : 
          
        realpoly 
        . 
        < 
        z 
        > 
          
        = 
          
        PolynomialRing 
        ( 
        RR 
        ) 
          
        # 定義realpoly爲基於實施域上z的多項式環 
       
 
        sage 
        : 
          
        factor 
        ( 
        t 
        ^ 
        2 
        - 
        2 
        ) 
       
 
        t 
        ^ 
        2 
          
        - 
          
        2 
       
 
        sage 
        : 
          
        factor 
        ( 
        z 
        ^ 
        2 
        - 
        2 
        ) 
       
 
        ( 
        z 
          
        - 
          
        1.41421356237310 
        ) 
          
        * 
          
        ( 
        z 
          
        + 
          
        1.41421356237310 
        ) 
       

外部軟件/庫接口

對於集成的外部開源數學軟件庫，Sage提供的方便的接口進行調用。在Sage中使用這些接口能夠方便的將不一樣語言、不一樣功能的數學軟件庫整合在同一程序中，這也使得Sage集成了衆多開源數學軟件之所長。固然這些外部數學庫不少都很是專業，實際應用中應該只會用到其中頗有限的一部分。這裏舉兩個官網Sage Tutorial裏的例子。

用GP/PARI求（本）原根（Primitive root）

GP/PARI是一個作數論的包（wiki）。原根是什麼呢，上過數論可是忘了的請面壁:(

抄一下wiki吧仍是

在時，定義對模的指數爲使 $a^d \equiv 1 \pmod{m}$ 成立的最小的正整數。由前知必定小於等於 $\phi (m)$ ，若 $Ord_m (a) = \phi (m)$ ，則稱是模的原根。

對正整數，若是 a 是模 m 的原根，那麼 a 是整數模n乘法羣（即加法羣 Z/mZ 的可逆元，也就是全部與 m 互素的正整數構成的等價類構成的乘法羣）Z_n^×的一個生成元。

生成元是一個很數論中很重要的概念，在一個整數模n乘法羣中，生成元能夠經過不斷與本身相乘（而後再模n），生成羣中的全部元素。元根能夠用PARI中的 znprimroot(n) 函數來求。

1 2	sage : gp ( 'znprimroot(7)' ) Mod ( 3 , 7 )

或

1 2	sage : pari ( 'znprimroot(7)' ) Mod ( 3 , 7 )

獲得3是模7乘法羣的一個元根。

用Maxima在有理域求矩陣特徵向量

Maxima用LISP編寫的計算機代數系統（Computer Algebra System），前身是Macsyma，Matlab和Mathematica等軟件的出現都受到在Macsyma的影響。在Sage中能夠方便調用Maxima代數系統。例以下面在求特徵向量並轉換到有理域向量空間的例子，代碼一樣來自官網Sage Tutorial，加了一些註釋：

 
        sage 
        : 
          
        A 
          
        = 
          
        maxima 
        ( 
        "matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])" 
        ) 
          
        # 生成矩陣 
       
 
        sage 
        : 
          
        eigA 
          
        = 
          
        A 
        . 
        eigenvectors 
        ( 
        ) 
          
        # 計算特徵響亮 
       
 
        sage 
        : 
          
        V 
          
        = 
          
        VectorSpace 
        ( 
        QQ 
        , 
        3 
        ) 
          
        # V是一個有理數域上的3維向量空間， 
       
 
        sage 
        : 
          
        eigA 
          
        # 輸出格式爲[[[特徵值],[特徵值重數]],[[特徵向量0],[特徵向量1],[特徵向量2]]] 
       
 
        [ 
        [ 
        [ 
        - 
        2 
        , 
        - 
        1 
        , 
        1 
        ] 
        , 
        [ 
        1 
        , 
        1 
        , 
        1 
        ] 
        ] 
        , 
        [ 
        [ 
        [ 
        0 
        , 
        0 
        , 
        1 
        ] 
        ] 
        , 
        [ 
        [ 
        0 
        , 
        1 
        , 
        3 
        ] 
        ] 
        , 
        [ 
        [ 
        1 
        , 
        1 
        / 
        2 
        , 
        5 
        / 
        6 
        ] 
        ] 
        ] 
        ] 
       
 
        sage 
        : 
          
        v1 
          
        = 
          
        V 
        ( 
        sage_eval 
        ( 
        repr 
        ( 
        eigA 
        [ 
        1 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        ) 
        ) 
        ) 
        ; 
          
        lambda1 
          
        = 
          
        eigA 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
       
 
        sage 
        : 
          
        v2 
          
        = 
          
        V 
        ( 
        sage_eval 
        ( 
        repr 
        ( 
        eigA 
        [ 
        1 
        ] 
        [ 
        1 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        ) 
        ) 
        ) 
        ; 
          
        lambda2 
          
        = 
          
        eigA 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        1 
        ] 
       
 
        sage 
        : 
          
        v3 
          
        = 
          
        V 
        ( 
        sage_eval 
        ( 
        repr 
        ( 
        eigA 
        [ 
        1 
        ] 
        [ 
        2 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        ) 
        ) 
        ) 
        ; 
          
        lambda3 
          
        = 
          
        eigA 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        0 
        ] 
        [ 
        2 
        ] 
       

           
       
 
        sage 
        : 
          
        M 
          
        = 
          
        MatrixSpace 
        ( 
        QQ 
        , 
        3 
        , 
        3 
        ) 
          
        # M是一個有利數域上的3×3維的矩陣空間 
       
 
        sage 
        : 
          
        AA 
          
        = 
          
        M 
        ( 
        [ 
        [ 
        1 
        , 
        0 
        , 
        0 
        ] 
        , 
        [ 
        1 
        , 
          
        - 
          
        1 
        , 
        0 
        ] 
        , 
        [ 
        1 
        , 
        3 
        , 
          
        - 
          
        2 
        ] 
        ] 
        ) 
       
 
        sage 
        : 
          
        b1 
          
        = 
          
        v1 
        . 
        base_ring 
        ( 
        ) 
          
        # b1 == QQ 是有理數域 
       
 
        sage 
        : 
          
        AA* 
        v1 
          
        == 
          
        b1 
        ( 
        lambda1 
        ) 
        * 
        v1 
          
        # 驗證特徵值定義A*v = lambda1*v 
       
 
        True 
       
 
        sage 
        : 
          
        b2 
          
        = 
          
        v2 
        . 
        base_ring 
        ( 
        ) 
       
 
        sage 
        : 
          
        AA* 
        v2 
          
        == 
          
        b2 
        ( 
        lambda2 
        ) 
        * 
        v2 
       
 
        True 
       
 
        sage 
        : 
          
        b3 
          
        = 
          
        v3 
        . 
        base_ring 
        ( 
        ) 
       
 
        sage 
        : 
          
        AA* 
        v3 
          
        == 
          
        b3 
        ( 
        lambda3 
        ) 
        * 
        v3 
       
 
        True 
       

注意到 M() 、 V() 、 b1() 、 b2() 、 b3() 都至關於類型轉換，限定運算在有理數域上進行。另外這裏的特徵向量沒有單位化，由於是在有理數域上。

與Latex協同

Sage內部能夠與Latex協同。對於任意Sage對象foo，能夠經過調用 latex(foo) 獲得其Latex輸出。例如：

相似地，本地Sage命令行中使用 view(foo) 則會

SageTex Package

經過 \usepackage{sagetex} 在tex文件中使用SageTex Package，能夠直接在tex文件中插入Sage命令，並隨Latex輸出結果到pdf。具體可參見官方Sage Tutorial。

小結

剛剛發現Sage的時候以爲很好很強大啊，自己基於Python，可使用Python的庫，也會比較好上手。同時又提供了比較方便的接口調用各類外部的數學系統，使得功能十分強大。另外與Latex的協同和嵌入功能，Sage Notebook和SageMathCloud等工具也都作得挺好用的。

我本身不是專業搞數學的，可是感受開源項目裏面要想出一個Matlab、Mathematica或者Maple級別的軟件，估計就得靠他了。Sage誕生於2005年，到目前爲止國內關注的還不多，可能一方面是由於dao版的Matlab等軟件實在太方便了，另外一方面由於數學系統自己涉及許多很是專業的數學知識，通常程序員不多接觸、專業人士又不多注開源。感受要是能在大學課程（好比抽象代數、數論等）中獲得使用的話會有比較好的普及效果。

對於我本身來講，平時從事計算機視覺和機器學習的研究，大概瞭解Sage了以後，也發現大部分純數學的功能本身通常很難用上，其中和我作過的工做比較有關的是有關代數幾何中用Groebner basis解多項式方程組的一些東西，不過本身純是外行，很差說能不能用Sage獲得什麼結果。寫這個介紹仍是但願Sage能在國內有所發展，對相關的研究人員有所幫助吧。若是對Sage或者計算機視覺感興趣，歡迎來訪問個人博客cvnote（http://cvnote.info）。

官方中文：http://www.sagemath.org/zh/

國內博客Lainme’s Blog的教程中文翻譯，博客上還有一些Sage使用的帖子：http://www.lainme.com/doku.php/topic/sage/start

國內amao博客男單 618的中文教程翻譯，博客有不少關於Sage使用的帖子：http://ai7.org/wp/html/682.html