哈夫曼樹

1、樹的路徑長度

• 兩個節點之間的路徑長度（PL）是鏈接兩節點的路徑上的分支數。如圖1中，節點七、8到29的PL都爲2，節點1五、14到29的PL都爲1.
• 樹的外部路徑長度：各葉節點到根節點的路徑長度之和（EPL）。如圖1中，葉節點有七、八、14，分別到根節點的路徑爲二、二、1，那麼EPL爲5.
• 樹的內部路徑長度：各非葉節點到根節點的路徑長度之和（IPL）。如圖1中，非葉節點有1五、29，分別到根節點的路徑爲一、0，那麼IPL爲1.
• 樹的路徑長度：PL=EPL+IPL，則PL=5+1=6

圖1：           圖2：

n個節點的二叉樹的路徑長度不小於下述數列前n項之和（從根節點出發，從左到右編號），即

PL=Σ_i[log₂i]=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4+…（[log₂i]取整數）

其路徑長度最小者爲 PL=Σ_i[log₂i]，只有徹底二叉樹知足纔要求PL=Σ_i[log₂i]

圖1爲徹底二叉樹，圖2不是徹底二叉樹，其PL 大於 Σ_i[log₂i]。

2、帶權路徑長度

不少應用問題中爲樹的葉節點賦予一個權值，用於表示出現頻度、機率值等。所以，在問題處理中把葉節點定義得不一樣於非葉節點，把葉節點看做「外節點」，非葉節點看做「內節點」。這樣的二叉樹稱爲擴充二叉樹。

擴充二叉樹中只有度爲2的內節點和度爲0的外節點。根據徹底二叉樹的性質，有n個外節點就有n-1個內節點，總節點數爲2n-1.

若一顆擴充二叉樹有n個外節點，第i個外節點的權值爲w_i，它到根的路徑長度爲l_i，則該外節點到根的帶權路徑長度爲w_i*l_i。

擴充二叉樹的帶權路徑長度：樹的各外節點到根的帶權路徑長度之和，即WPL=Σ_i(w_i*l_i)

對於一樣的一組權值，放在外節點上，樹的組織方式不一樣，帶權路徑長度也不一樣。

如圖1：WPL=15*1+14*1+7*2+8*2，如何使得擴充二叉樹的帶權路徑長度最小，當權值大的值離根近，權值小的離根遠，則最小。

Huffman樹

在帶權路徑長度達到最小的擴充二叉樹即爲Huffman樹。在Huffman樹中，權值大的節點離根最近。

哈夫曼樹的構造算法：

1）由給定的n個權值{w₀,w₁,w₂……w_n-1}，構造具備n顆擴充二叉樹的森林F={F₀,F₁,F₂……F_n-1}，其中每顆擴充二叉樹T_i只有一個帶權值w_i的根節點，其左右子樹均爲空。

2）重複如下步驟，直到F中僅剩一顆樹爲止：

• 在F中選取兩顆根節點的權值最小的擴充二叉樹，做爲左、右子樹構造一顆新的二叉樹。置新的二叉樹的根節點的權值爲其左、右子樹上根節點的權值之和。
• 把F中刪去這兩顆二叉樹
• 把新的二叉樹加入F