計算方法（三）矩陣分解1-正交分解(QR分解)

正交分解

矩陣的正交分解又稱爲QR分解，是將矩陣分解爲一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣的乘積的形式。

任意實數方陣A，都能被分解爲 。這裏的Q爲正交單位陣，即 R是一個上三角矩陣。這種分解被稱爲QR分解。 QR分解也有若干種算法，常見的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是將矩陣分解爲一個正交矩陣與上三角矩陣的乘積。用一張圖能夠形象地表示QR分解：
爲啥咱們須要正交分解呢？
實際運用過程當中，QR分解常常被用來解線性最小二乘問題，這個問題咱們後面講述。

提到正交分解就不得不討論（Householder transformation Householder變換）豪斯霍爾德變換和（Schmidt orthogonalization Schmidt正交化）施密特正交化

Schmidt正交化

定理1 設A是n階實非奇異矩陣,則存在正交矩陣Q和實非奇異上三角矩陣R使A有QR分解;且除去相差一個對角元素的絕對值（模）全等於1的對角矩陣因子外,分解是惟一的.

定理2 設A是m×n實矩陣,且其n個列向量線性無關,則A有分解A=QR,其中Q是m×n實矩陣,且知足QHTQ=E,R是n階實非奇異上三角矩陣該分解除去相差一個對角元素的絕對值（模）全等於1的對角矩陣因子外是惟一的.用Schmidt正交化分解方法對矩陣進行QR分解時，所論矩陣必須是列滿秩矩陣。

算法步驟

1. 寫出矩陣的列向量;
2. 列向量按照Schmidt正交化正交;
3. 得出矩陣的Q′,R′;
4. 對R′的列向量單位化獲得Q，R′的每行乘R′每列的模得푹

matlab代碼

function[X,Q,R] = QRSchmidt(A,b)
%方陣的QR的Gram-Schmidt正交化分解法，並用於求解AX=b方程組[m,n]=size(A); 
if m~=n
	%若是不是方陣，則不知足QR分解要求
	disp('不知足QR分解要求');
end
Q=zeros(m,n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
for k=1:nR(k,k)=norm(A(:,k));
	if R(k,k)==0
		break;
	end
	Q(:,k)=A(:,k)/R(k,k);
	for j=k+1:n
		R(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j); 
		A(:,j)=A(:,j)-R(k,j)*Q(:,k);
	end
if nargin==2
	b=Q'* b;
	X(n)=b(n)/R(n,n);
	for i=n-1:-1:1
		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);
	end
else
	X=[];
end
end

Householder變換

設A爲任一n階方陣，則必存在n階酉矩陣Q和n階上三角陣R，使得A=QR
設w∈Cn是一個單位向量，令
則稱H是一個Householder矩陣或Householder變換。則對於任意的 存在Householder矩陣H，使得Hx=-au。其中

酉矩陣（unitary matrix）
若n階復矩陣A知足

則稱A爲酉矩陣，記之爲其中，Ah是A的共軛轉置
酉矩陣性質
若是A是酉矩陣

2. 也是酉矩陣；
3. det(A)=1;
4. 充分條件是它的n個列向量是兩兩正交的單位向量。

算法步驟

1. 將矩陣A按列分塊寫成A=(α1，α2，...，αn）.若是α1≠0，則可得，存在n階householder矩陣H1使得因而有
   若是α1=0，則直接進行下一步，此時至關於取，而a1=0.
2. 將矩陣An-1按列分塊寫成An-1=（αi,α2，... ,αn-1）。若是α1≠0，則可得，存在n-1階householder矩陣H’2使得 因而有
   此時，令
   
   則H2是n階Householder矩陣，且使
   
   若是α1=0，則直接進行下一步
3. 對n-2階矩陣繼續進行相似的變換，如此下去，之多在第n-1步，咱們能夠找到Householder矩陣H1，H2，...，Hn-1使得
   
   令，則Q是酉矩陣之積，從而必有酉矩陣而且A=QR

matlab代碼

function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b)
%用Householder變換將方陣A分解爲正交Q與上三角矩陣R的乘積，並用於求解AX=b方程組
[n,n]=size(A);
E=eye(n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
P1=E;
for k=1:n-1
	%構造w,使Pk=I-2ww'
	s=-sign(A(k,k))* norm(A(k:n,k));
	R(k,k)=-s;
	if k==1
		w=[A(1,1)+s,A(2:n,k)']';
	else
		w=[zeros(1,k-1),A(k,k)+s,A(k+1:n,k)']';
		R(1:k-1,k)=A(1:k-1,k);
	end
	if  norm(w)~=0
		w=w/norm(w);
	end
	P=E-2*w*w';
	A=P*A;
	P1=P*P1;
	R(1:n,n)=A(1:n,n);
end
Q=P1';
if nargin==2
	b=P1*b;
	X(n)=b(n)/R(n,n);
	for i=n-1:-1:1
		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);
	end
else
	X=[];
end

matlab自帶方法

%產生一個3*3大小的魔方矩陣
A=magic(3)
[Q,R]=qr(A)

使用Eigen C++ Eigen提供了幾種矩陣分解的方法

分解方式	Method	矩陣知足條件	計算速度	計算精度
PartialPivLU	partialPivLu()	Invertible	++	+
FullPivLU	fullPivLu()	None	-	+++
HouseholderQR	householderQr()	None	++	+
ColPivHouseholderQR	colPivHouseholderQr()	None	+	++
FullPivHouseholderQR	fullPivHouseholderQr()	None	-	+++
LLT	llt()	Positive definite	+++	+
LDLT	ldlt()	Positive or negative semidefinite	+++	++

其中HouseholderQR、ColPivHouseholderQR、FullPivHouseholderQR是咱們目前要用到的QR分解方法
C++的QR分解代碼爲

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main() {
    Matrix3d A;
    A<<1,1,1,
            2,-1,-1,
            2,-4,5;

    HouseholderQR<Matrix3d> qr;
    qr.compute(A);
    MatrixXd R = qr.matrixQR().triangularView<Upper>();
    MatrixXd Q =  qr.householderQ();
    std::cout << "QR2(): HouseholderQR---------------------------------------------"<< std::endl;
    std::cout << "A "<< std::endl <<A << std::endl << std::endl;
    std::cout <<"qr.matrixQR()"<< std::endl << qr.matrixQR() << std::endl << std::endl;
    std::cout << "R"<< std::endl <<R << std::endl << std::endl;
    std::cout << "Q "<< std::endl <<Q << std::endl << std::endl;
    std::cout <<"Q*R" << std::endl <<Q*R << std::endl << std::endl;
    return 0;
}

輸出

好了大功告成，爲何我要寫計算方法的文章呢，雖然如今有不少的庫和包給咱們調用，可是咱們也不能忘了代碼的本質是爲了解決複雜的數學問題，從根源上去理解一種計算方法有助於咱們對自身代碼的優化，好比這些方法咱們能夠把它寫到FPGA和CUDA等並行或者分佈式的計算當中，加速咱們的計算方法，這比直接單機去調用這些庫會超乎想象的快。