基本代數概念與有限域下的橢圓曲線【密碼學筆記】

時間 2019-11-07

標籤基本代數概念有限橢圓曲線密碼學筆記简体版

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羣

羣G（group）是指由一個集合和一個二元運算 $*$ （這裏的 $*$ 不是指乘法）構成的代數系，含有如下四個性質html

羣在 $*$ 下的運算是封閉的

對於任意G中的兩個元素，$a$ 和 $b$，$a*b$ 也是 $G$ 中的一個元素。算法

羣中有一個元素 $e$，稱爲單位元

對於羣中的每一個元素 $a$ 都知足 $a*e=e*a$spa

羣中每一個元素都有逆元，記做$a^{-1}$

對於羣中每一個元素 $a$ 都知足 $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$3d

羣中運算都知足結合律

對於羣中任意元素，$a,b,c$ 都知足 $(a*b)*c=a*(b*c)$htm

若是 $G$ 知足交換律，則稱羣 $G$ 爲交換羣或者阿貝爾羣。blog

舉個例子，整數集 $Z$ 就是一個具備加法運算的羣，也是阿貝爾羣，$0$ 位單位元，每一個元素$a$ 都有逆元 $-a$，加法運算知足結合律。而整數集 $Z$ 就不是一個具備乘法運算的羣，由於元素 $0$ 沒有逆元。get

容易證實，每一個羣中的單位元都是惟一的，同時，羣中每一個元素的逆元也是惟一的，而且一個元素的逆元的逆元是該元素自己。$(a^{-1})^{-1}=a$。數學

每當羣中運算用於同一個元素與其自身相運算兩次或屢次時，能夠採用指數運算來表示。這樣就有 $a^2=a*a$ ，$a^{n}=a* a \ldots * a$，也就是說在整數集的加法運算下，$a^2=a+a$，只是這不符合你們的習慣。it

域

域 $F$ 是一個含有至少兩個元素的集合，含有兩個二元運算稱爲加法和乘法（並不必定是咱們一般意義上的加法和乘法），並知足如下性質：class

集合 $F$ 在加法下是一個阿貝爾羣
集合 $F$ 在乘法下是封閉的，且域中全部非零元素構成的集合在乘法下是一個阿貝爾羣
對於集合F中全部的$a,b,c$，分配率 $(a+b)c=ac+bc$ 都成立。

有限域

若域中元素個數有限，則稱 $F$ 爲有限域。並記做 $F_q$ 或 $GF(q)$ ，其中 $q$ 爲該有限域的元素個數，也叫作有限域的階數。

例如，設 $p$ 爲素數，對於非空集合$F=\{0,1， ...，p-1\}$，在模 $p$ 的狀況下作加法和乘法運算，定義運算規則爲：
\[ a\oplus b=a+b=r\left( mod\ p\right),a,b,r \in F\\ a\otimes b=a\times b=s\left( mod\ p\right),a,b,s \in F \]

$F$關於加法構成交換羣，加法單位元爲$0$；$F$ 中全體非零元對乘法構成交換羣，乘法單位元爲1；分配率也成立。故 $F$ 在定義的加法和乘法運算下構成有限域，用 $GF(p)$ 或$F_p$表示。

例如，$GF(2)$，域中元素只有$0,1$.域中運算爲：$1+1=0,1+0=1,0+1=1,0+0=0,1*1=1,1*0=0,0*1=0,0*0=0$.

域上的一元多項式

基本性質

數學家已經證實（好厲害喲），一個有限域 $GF(k)$，其 $k$ 必爲 $p$ 或者 $p^m$ ( $p$ 爲素數)，其它的 $k$ 將不能構成有限域。 $p^m$ ( $p$ 爲素數)的徹底剩餘集的每個元素，可使用 $m$ 位的 $p$ 進制數來表示，並進而可使用多項式來表示。

令 $a∈GF(p^m)$ ，則 $a$ 可表示成以下次數爲 $m-1$ 的多項式

其中的係數 $a_i$ 爲模 $p$ 的整數，$x=p$，該表達式實質上是把一個整數用 $m$ 位的 $p$ 進制數來表示，係數 $a_i$ 就是每一位的具體數字。

例如：在 $GF(3^3)$ ，即$GF(27)$中，$a=2x^2+x+2$

表示成三位三進制數212，轉換成十進制數爲 $2×3^2+1×3^1+2＝23$

多項式的運算

實質就是在 $P$ 進制下的運算。

加法

\[ a=a_{m-1}x^{m-1}+a_{m-2}x^{m-2}+...+a_1x+a_0, b=b_{m-1}x^{m-1}+b_{m-2}x^{m-2}+...+b_1x+b_0\\ c=a+b=c_{m-1}x^{m-1}+c_{m-2}x^{m-2}+...+c_1x+c_0\\ c_i=a_i+b_i (mod\ p), 0\leq i\leq m-1 \]

舉例：在$GF(3^3)$中，若$a=2x^2+x+2,b=2x^2+2x+2$

則有 $c=a+b=x^2+1$

減法

在有限域內，作減法，就是須要注意，對負數取模（模數爲正時），結果必定是正的。
舉例：在$GF(3^{3})$中，若 $a=2x^2+x+2$，$b=2x^2+2x+2$

則有 $c=a-b=2x$

乘法

在$GF(3^{3})$中，若 $a=2x^2+x+2$，$b=2x^2+2x+2$，求 $ab$ 的過程以下

得 $d=ab=x^4+x^2+1$

計算過程當中沒有進位一說，每一步都進取模操做。

除法

求$x^4+x^2+1$，除以$x^3+2x+1$

$x^4+x^2+1——10101$

$x^3+2x+1——1021$

兩者相除，獲得的餘數爲$221$，則計算結果爲$2x^2+2x+1$。

和乘法相相似，計算過程當中也沒有借位一說，出現負數就進行取模。

橢圓曲線

橢圓曲線是形如的方程的解集，這種方程式被叫作$Weierstrass$方程。例如：

橢圓曲線的一個特色是可以用橢圓曲線上的兩個點「相加」生成第三個點。

之因此用「相加」來表示，是由於這個操做在某些方面相似於加法操做。用幾何學來描述「相加」操做，設 $P$ 和 $Q$爲橢圓曲線 $E$ 上的兩個點，若經過$P,Q$兩點的直線交 $E$ 於 $R$ ，若 $R'$ 爲 $R$ 關於 $x$ 軸的對稱點，則記 $ P\oplus Q=R' $。

例如：

設橢圓曲線E爲，點P爲(7,16)，點Q爲(1,2)。

由兩點能夠得出直線L：，爲獲得E和L的交點，咱們計算

咱們須要獲得方程式的根，因爲咱們已經知道X=7和X=1，因此有

從而獲得

那麼當咱們想要獲得 $P\oplus P$ 時，應該怎麼作呢？

設 $P$ 爲橢圓曲線 $E$ 上的兩個點，若經過$P$ 的一條切線交 $E$ 於 $R$，若 $R'$ 爲 $R$ 關於 $x$ 軸的對稱點，則記 $2P = P\oplus P=R' $。

例如：

設橢圓曲線爲，點P爲(7,16) 。計算 $P\oplus P$ 。
經過隱式微分方程求解：

因爲P=(7,16)，獲得斜率，因此

注意P的X軸座標X=7爲3次多項式的2重根，獲得

固然橢圓曲線上的「相加法則」也存在着一個潛在的問題。若是咱們嘗試作$P=(a,b)$點關於x軸的對稱點$P’=(a,-b)$。那麼經過$P$和$P’$的直線$L$是垂直線$x=a$，這條線與$E$的交點只有$P$和$P’$。

基於 $P\oplus P'$ ，有一種解決辦法就是創造一個額外的點$O$ （無窮遠處），這個點不存在在XY平面中，可是咱們假設它存在在每一垂直線上。因此有$P\oplus P'=O$，從而能夠得出$P\oplus O=P'$，因此$O$在橢圓曲線加法中至關於零。

定理1：

橢圓曲線E上的加法知足如下性質：

存在單位元：$P+O=O+P=P$
可逆：$P+(-P)=O$
知足結合律：$(P+Q)+R=P+(Q+R)$
知足交換律：$P+Q=Q+P$

定理2：

橢圓曲線加法算法：
設橢圓曲線$E:Y^2=X^3+AX+B$上兩點爲$P_1$和$P_2$：

(a) 若是$P_1=O$，則$P_1+P_2=P_2$。

(b) 不然，若是$P_2=O$，則$P_1+P_2=P_1$。

(d) 若是$x_1=x_2$且$y_1=-y_2$，則$P_1+P_2=O$。

(e) 不然，定義

並設

則$P_1+P_2=(x_3,y_3)$

這個書上有證實，這個俺會了，可是不想寫。

有限域上橢圓曲線

爲了將橢圓曲線應用到密碼學中，須要這樣一種橢圓曲線，其上的點的座標在有限域$F_p$中。咱們定義一種在有限域$F_p(p>3)$上的橢圓曲線：

$E:Y^2=X^3+AX+B，A,B∈F_p$ ，其判別式知足$4A^3+27B^2(mod\ p)\neq\ 0$。記爲：$E_p(A,B)$

$E$上的點的座標在$F_p$中記爲：

例如：

域$F_{13}$上的橢圓曲線$E:Y^2=X^3+3X+8$。

咱們將全部可能的$X=0,1,2,…,12$代入$X^3+3X+8$並檢查哪些值是模$13$的二次剩餘。例如，將$X=0$代入，獲得$8$，而$8$不是模$13$的二次剩餘；再將$X=1$代入，獲得$12$，因爲$5^2≡12(mod\ 13)$和$8^2≡12(mod\ 13)$，因此$(1,5)$和$(1,8)$在$E(F_{13})$中。依此計算最終獲得：

定理3

設$E$是$F_p$上的橢圓曲線，$P$和$Q$是$E(F_p)$中的點。

(a). 對$P$和$Q$應用橢圓曲線加法算法（定理2）能夠獲得一個$E(F_p)$中的點，記爲$P+Q$。
(b). $E(F_p)$上的加法知足定理1列舉的全部性質。也就是說，加法使$E(F_p)$成爲一個有限羣。

證實：

定理2 (e)的公式是經過將過P和Q直線的方程代入E求解X而導出的，從而加法的結果必然是E上的點，也就是方程所定義的E的解，因此(a)爲真；對於(b)，存在單位元由加法算法的步驟(a)和(b)獲得，可逆由加法算法的步驟(d)獲得，知足交換律很容易獲得，由於能夠很簡單的驗證：若是將兩點交換，加法算法會獲得相同的結果。但知足結合律不是很容易說明。能夠經過加法算法公式直接驗證，但要考慮不少特殊狀況。

例如：

域$F_{13}$上的橢圓曲線$E:Y^2=X^3+3X+8$。咱們使用加法算法（定理2）在$E(F_{13})$中將$P=(9,7)$和$Q=(1,8)$兩點相加。根據算法步驟(e)首先計算

注意全部的計算都在域$F_{13}$上，因此$-8\ mod\ 13=5$且$1/5=5^{-1}=8$ （數論倒數）。下一步咱們計算

最後，根據加法算法咱們計算

這樣就獲得

類似地，咱們可使用加法算法將$P=(9,7)$自身相加。注意全部的計算都在域$F_{13}$上，咱們獲得

因此在域$F_{13}$上$P+P=(9,7)+(9,7)=(9,6)$。類似地，咱們計算$E(F_{13})$上每一對點的和。計算結果以下表：