矩陣乘法（七）：其它一些典型應用

      前面幾篇隨筆中介紹了利用矩陣乘法（特別是應用快速冪運算）解決遞推快速求值、置換和幾何變換等問題的方法。實際上矩陣乘法的應用遠不止這些，下面經過幾個實例來介紹下矩陣乘法的其它一些典型的應用。

【例1】多少條道。

      給定一個有向圖，問從A點剛好走k步（容許重複通過邊）到達B點的方案數mod p的值。

      （1）編程思路。

      本題是矩陣乘法應用在圖論中的一個典型方法。
      給定了有向圖，能夠獲得該圖的鄰接矩陣A，在鄰接矩陣A中，A(i,j)=1當且僅當存在一條邊i->j。若i->j不存在直接相鏈接的邊，則A(i,j)=0。

      令C=A*A，那麼 C(i,j)= ΣA(i,k)*A(k,j)，實際上就等於從點i到點j剛好通過2條邊的路徑數（k爲中轉點）。

      相似地，C*A =A*A*A的第i行第j列就表示從i到j通過3條邊的路徑數。同理，若是要求通過k步的路徑數，只須要採用快速冪運算求出A^k便可。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MOD 1000
struct Matrix
{
      int mat[21][21]; // 存儲矩陣中各元素
};
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n,int m)
{
      Matrix c;
      memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
      int i,j,k;
      for (k = 1; k<=n ; k++)
          for (i=1 ;i<=n ; i++)
               if (a.mat[i][k]!=0)
                    for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                        c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
      return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b,int m) // n階矩陣a快速b次冪
{
      Matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
           c.mat[i][i] = 1;
      while (b!=0)
      {
            if (b & 1)
                c = matMul(c ,a ,n,m); // c=c*a;
            a = matMul(a ,a ,n,m); // a=a*a
            b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int n,m,s,t,nCase,a,b,k,i;
      Matrix p,ans;
      while (scanf("%d%d",&n,&m) && n+m!=0)
      {
            memset(p.mat,0,sizeof(p.mat));
            for (i=1;i<=m;i++)
            {
                 scanf("%d%d",&s,&t);
                 p.mat[s+1][t+1]=1;
            }
            scanf("%d",&nCase);
            for (i=1;i<=nCase;i++)
            {
                  scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
                  ans=quickMatPow(p,n,k,MOD);
                  printf("%d\n" ,ans.mat[a+1][b+1]);
             }
      }
      return 0;
}

將此源程序提交給 HDU 2157 「How many ways??」，能夠Accepted。

 

       咱們知道，構造好平移、縮放或旋轉的轉換矩陣後，能夠實現幾何變換；構造好置換矩陣後，能夠實現置換操做。這樣，在一些問題中，咱們也能夠根據狀態變化的狀況，構造一個狀態轉移矩陣，來解決一些狀態變換類問題。

【例2】燈的狀態。

     有n盞燈排成一排，開關狀態已知，0表明燈熄滅，1表明點亮。每過一秒：第i（1<=i<=n）盞燈會根據剛纔左邊的那個燈的開關狀況變化，若是左邊的燈是亮的，它就會變化，若是左邊的燈是熄滅的，它就保持原來狀態。第1盞燈的左邊是最後一盞燈。問m秒後所有n盞燈的狀態。

      （1）編程思路。

        設f[i]表明第i盞燈的狀態，f[i]=1表明第i盞燈是點亮的，f[i]=0表明第i盞燈是熄滅的。

        對於第i（1<i<=n）盞燈，若第i-1盞燈點亮的： 當前燈的動做:   1->0;  0->1;

                                               若第i-1盞燈熄滅的： 當前燈的動做： 1->1; 0->0;

        由此，可推得  f[i]=(f[i]+f[i-1])%2  （1<i<=n）。 

       對於第1盞燈，它的狀態變化與第n盞燈相關，即  f[1]=(f[1]+f[n])%2 。

       由此，咱們能夠構造一個n*n的狀態轉移矩陣P來完成燈的狀態轉換。

                      

                             

         構造好狀態轉移矩陣P，P^m的結果就是m秒後的狀態轉移矩陣。再將狀態轉移矩陣除以n盞燈初始狀態列向量F便可獲得n盞燈的最終狀態。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MOD 2
struct Matrix
{
      int mat[101][101]; // 存儲矩陣中各元素
};
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)
{
     Matrix c;
     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
     int i,j,k;
     for (k = 1; k<=n ; k++)
         for (i=1 ;i<=n ; i++)
             if (a.mat[i][k]!=0)
                 for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                     c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % MOD;
     return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b) // n階矩陣a快速b次冪
{
      Matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
           c.mat[i][i] = 1;
      while (b!=0)
     {
           if (b & 1)
              c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;
           a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a
           b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int m,n,i,j,s;
      char f[101];
      int temp[101],ans[101];
      Matrix p;
      while(scanf("%d" ,&m)!=EOF)
       {
            scanf("%s",f);
            n=strlen(f);
            for (i=1;i<=n;i++)
                temp[i]=f[i-1]-'0';
            memset(p.mat,0,sizeof(p.mat));
            p.mat[1][1]=p.mat[1][n]=1;
            for (i=2;i<=n;i++)
                   p.mat[i][i-1]=p.mat[i][i]=1;
            p = quickMatPow(p,n,m);
            for (i=1;i<=n;i++)
             {
                   s=0;
                   for (j=1;j<=n;j++)
                        s+=p.mat[i][j]*temp[j];
                   ans[i]=s%MOD;
            }
            for (i=1;i<=n;i++)
                 printf("%d" ,ans[i]);
            printf("\n");
      }
      return 0;
}

     將此源程序提交給 HDU 2276 「Kiki & Little Kiki 2」，能夠Accepted。

 【例3】訓練小貓。

      用k個操做序列來訓練n只小貓。 操做系列中：

      g  i：表示第i只貓獲得一個花生， e  i ：表示第i只貓吃掉全部花生，s i j ：表示第i只貓和第j只貓交換花生。
      k個操做序列要被重複m次，問最後每隻貓有多少花生。

      （1）編程思路。

       構造一個（n+1）*（n+1）（下標從1開始）的轉換矩陣P，該轉換矩陣根據K個操做序列來構造，具體構造方法是：

       先將P初始化爲單位矩陣。

       對於g i操做，將當前矩陣P的第i行的第（n+1）列加1。 

       例如，有3只小貓，某次操做前3只小貓的花生數分別爲x,y和z。 執行 g 2 操做。矩陣的構造表示爲

              

       對於 e  i 操做：將當前矩陣P第i行所有清0便可。

      對於 s i j 操做 ：交換當前矩陣P的第i行和第j行便可。

      構造好了轉換矩陣（注意該轉換矩陣表明着一次k個操做序列），執行P^m，至關將k個操做序列重複m次。

      因爲n只小貓的初始花生數均爲0，所以最終P矩陣的第n+1列的第1~n行元素的值就是最後n只小貓的最後花生數。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct Matrix
{
      __int64 mat[105][105];
};
Matrix start;
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n)
{
      Matrix c;
      memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
      int i,j,k;
      for (k = 1; k<=n ; k++)
            for (i=1 ;i<=n ; i++)
                 if(a.mat[i][k])
                      for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                            c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]);
     return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int b ,int n) // n階矩陣a快速b次冪
{
      Matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
           c.mat[i][i] = 1;
      while(b)
      {
          if (b & 1)
               c = matMul(c ,a ,n); // c=c*a;
         a = matMul(a ,a ,n); // a=a*a
         b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int n,m,k,i,j;
      __int64 t;
      while (scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF)
      {
            if (n==0 && m==0 && k==0)
                  break;
            n++;
            memset(start.mat, 0, sizeof(start.mat));
            for (i = 1; i<=n; i++)
                 start.mat[i][i] = 1;
            for (i=1; i<=k; i++)
            {
                  int a, b;
                  char ch[2];
                  scanf("%s", ch);
                  if (ch[0] == 'g')
                  {
                        scanf("%d", &a);
                        start.mat[a][n]++;
                 }
                 else if (ch[0] == 'e')
                 {
                        scanf("%d", &a);
                        for (j = 1; j <= n; j++)
                              start.mat[a][j] = 0;
                 }
                 else
                 {
                        scanf("%d%d", &a, &b);
                        for (j = 1; j<=n; j++)
                        {
                               t=start.mat[a][j];
                               start.mat[a][j]=start.mat[b][j];
                               start.mat[b][j]=t;
                        }
                }
           }
           start= quickMatPow(start,m,n);
           for (i = 1; i <n; i++)
                 printf("%I64d ", start.mat[i][n]);
           printf("\n");
      }
      return 0;
}

將此源程序提交給 POJ 3735「Training little cats」，能夠Accepted。