看動畫輕鬆理解時間複雜度（一）

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算法（Algorithm）是指用來操做數據、解決程序問題的一組方法。對於同一個問題，使用不一樣的算法，也許最終獲得的結果是同樣的，好比排序就有前面的十大經典排序和幾種奇葩排序，雖然結果相同，但在過程當中消耗的資源和時間卻會有很大的區別，好比快速排序與猴子排序：）。

那麼咱們應該如何去衡量不一樣算法之間的優劣呢？

主要仍是從算法所佔用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。

• 時間維度：是指執行當前算法所消耗的時間，咱們一般用「時間複雜度」來描述。

• 空間維度：是指執行當前算法須要佔用多少內存空間，咱們一般用「空間複雜度」來描述。

本小節將從「時間」的維度進行分析。

什麼是大O

當看「時間」二字，咱們確定能夠想到將該算法程序運行一篇，經過運行的時間很容易就知道複雜度了。

這種方式能夠嗎？固然能夠，不過它也有不少弊端。

好比程序員小吳的老式電腦處理10w數據使用冒泡排序要幾秒，但讀者的iMac Pro 可能只須要0.1s，這樣的結果偏差就很大了。更況且，有的算法運行時間要好久，根本沒辦法沒時間去完整的運行，仍是好比猴子排序：）。

那有什麼方法能夠嚴謹的進行算法的時間複雜度分析呢？

有的!

「 遠古 」的程序員大佬們提出了通用的方法：「 大O符號表示法 」，即 T(n) = O(f(n))。

其中 n 表示數據規模 ，O(f(n))表示運行算法所須要執行的指令數，和f(n)成正比。

上面公式中用到的 Landau符號是由德國數論學家保羅·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著做《解析數論》首先引入，由另外一位德國數論學家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推廣。Landau符號的做用在於用簡單的函數來描述複雜函數行爲，給出一個上或下（確）界。在計算算法複雜度時通常只用到大O符號，Landau符號體系中的小o符號、Θ符號等等比較不經常使用。這裏的O，最初是用大寫希臘字母，但如今都用大寫英語字母O；小o符號也是用小寫英語字母o，Θ符號則維持大寫希臘字母Θ。

注：本文用到的算法中的界限指的是最低的上界。

常見的時間複雜度量級

咱們先從常見的時間複雜度量級進行大O的理解：

• 常數階O(1)

• 線性階O(n)

• 平方階O(n²)

• 對數階O(logn)

• 線性對數階O(nlogn)

O(1)

不管代碼執行了多少行，其餘區域不會影響到操做，這個代碼的時間複雜度都是O(1)

void swapTwoInts(int &a, int &b){
  int temp = a;
  a = b;
  b = temp;
}
複製代碼

O(n)

在下面這段代碼，for循環裏面的代碼會執行 n 遍，所以它消耗的時間是隨着 n 的變化而變化的，所以能夠用O(n)來表示它的時間複雜度。

int sum ( int n ){
   int ret = 0;
   for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
      ret += i;
   }
   return ret;
}
複製代碼

特別一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小於 1 ，好比下面這段代碼：

void reverse ( string &s ) {
    int n = s.size();
    for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
      swap ( s[i] , s[n-1-i]);
    }
}
複製代碼

O(n²)

當存在雙重循環的時候，即把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間複雜度就是 O(n²) 了。

void selectionSort(int arr[],int n){
   for(int i = 0; i < n ; i++){
     int minIndex = i;
     for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
       if (arr[j] < arr[minIndex])
           minIndex = j;
       
     swap ( arr[i], arr[minIndex]);
   }
}
複製代碼

這裏簡單的推導一下

• 當 i = 0 時，第二重循環須要運行 (n - 1) 次
• 當 i = 1 時，第二重循環須要運行 (n - 2) 次
• 。。。。。。

不可貴到公式：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0
= (0 + n - 1) * n / 2
= O (n ^2)

複製代碼

固然並非全部的雙重循環都是 O(n²)，好比下面這段輸出 30n 次 Hello,五分鐘學算法：）的代碼。

void printInformation (int n ){
   for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
           cout<< "Hello,五分鐘學算法：）"<< endl;
}
複製代碼

O(logn)

int binarySearch( int arr[], int n , int target){
  int l = 0, r = n - 1;
  while ( l <= r) {
    int mid = l + (r - l) / 2;
    if (arr[mid] == target) return mid;
    if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
    else l = mid + 1;
  }
  return -1;
}
複製代碼

在二分查找法的代碼中，經過while循環，成 2 倍數的縮減搜索範圍，也就是說須要通過 log2^n 次便可跳出循環。

一樣的還有下面兩段代碼也是 O(logn) 級別的時間複雜度。

// 整形轉成字符串
  string intToString ( int num ){
   string s = "";
   // n 通過幾回「除以10」的操做後，等於0
   while (num ){
    s += '0' + num%10;
    num /= 10;
   }
   reverse(s)
   return s;
  }
複製代碼

void hello (int n ) {
   // n 除以幾回 2 到 1
   for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz) 
     for (int i = 1; i < n; i++)
        cout<< "Hello,五分鐘學算法：）"<< endl;
}
複製代碼

O(nlogn)

將時間複雜度爲O(logn)的代碼循環N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。

void hello (){
  for( m = 1 ; m < n ; m++){
    i = 1;
    while( i < n ){
        i = i * 2;
    }
   }
}


複製代碼

下一節將深刻的對遞歸算法的複雜度進行分析，敬請期待：）

文章首發於公衆號：五分鐘學算法