統計學---之樣本方差與整體方差的區別

前段日子從新整理了一下這個問題的解答，跟你們分享一下，若是有什麼錯誤的話但願你們可以提出來，我會及時改正的，話很少說進入正題：

首先，咱們來看一下樣本方差的計算公式：

 

                                                    

剛開始接觸這個公式的話可能會有一個疑問就是：爲何樣本方差要除以（n-1）而不是除以n？爲了解決這個疑惑，咱們須要具有一點統計學的知識基礎，關於整體、樣本、指望（均值）、方差的定義以及統計估計量的評選標準。有了這些知識基礎以後，咱們會知道樣本方差之因此要除以（n-1）是由於這樣的方差估計量纔是關於整體方差的無偏估計量。這個公式是經過修正下面的方差計算公式而來的：

                         

 

修正過程爲：

                             
咱們看到的實際上是修正後的結果：

                            

   對於這種修正的話是有相關的公式推導的。下面都會一一給出。

爲了方便敘述，在這裏說明好數學符號：

 

前面說過樣本方差之因此要除以（n-1）是由於這樣的方差估計量纔是關於整體方差的無偏估計量。在公式上來說的話就是樣本方差的估計量的指望要等於整體方差。以下：

                       

 

可是沒有修正的方差公式，它的指望是不等於整體方差的

                            

也就是說，樣本方差估計量若是是用沒有修正的方差公式來估計總計方差的話是有誤差的

下面給出比較好理解的公式推導過程：

      

 

也就是說，除非不然必定會有

                    

須要注意的是不等式右邊的纔是的對方差的「正確」估計，可是咱們是不知道真正的整體均值是多少的，只能經過樣本的均值來代替整體的均值。因此樣本方差估計量若是是用沒有修正的方差公式來估計總計方差的話是會有誤差，是會低估了整體的樣本方差的。爲了能無誤差的估計整體方差，因此要對方差計算公式進行修正，修正公式以下：

                     
   這種修正後的估計量將是整體方差的無偏估計量，下面將會給出這種修正的一個來源；

爲了能搞懂這種修正是怎麼來的，首先咱們得有下面幾個等式：

1.方差計算公式：  

             

2. 均值的均值、方差計算公式：

             

對於沒有修正的方差計算公式咱們有： 

 

由於：

                  

 

因此有：

                  

 

在這裏若是想修正的方差公式，讓修正後的方差公式求出的方差的指望爲整體方差的話就須要在沒有修正的方差公式前面加上來進行修正，即：

                  
因此就會有這樣的修正公式：

                  

而咱們看到的都是修正後的最終結果：

                       

這就解釋了爲何要對方差計算公式進行修正，且爲何要這樣修正。

上面的解釋若是有什麼錯誤，或者有哪些解釋不正確的地方歡迎你們指正。謝謝你們。但願能對你們有點幫助。

轉載：http://blog.csdn.net/fuming2021118535/article/details/51290320