python數據結構和算法 二叉樹

樹

樹（英語：tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實做這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具備樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具備層次關係的集合。把它叫作「樹」是由於它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。

樹的術語

• 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱爲該節點的度；
• 樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱爲樹的度；
• 葉節點或終端節點：度爲零的節點；
• 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱爲其子節點的父節點；
• 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱爲該節點的子節點；
• 兄弟節點：具備相同父節點的節點互稱爲兄弟節點；
• 節點的層次：從根開始定義起，根爲第1層，根的子節點爲第2層，以此類推；
• 樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
• 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互爲堂兄弟；
• 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的全部節點；
• 子孫：以某節點爲根的子樹中任一節點都稱爲該節點的子孫。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱爲森林；

樹的種類

• 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，這種樹稱爲無序樹，也稱爲自由樹；
• 有序樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係，這種樹稱爲有序樹；
  • 二叉樹：每一個節點最多含有兩個子樹的樹稱爲二叉樹；
    • 徹底二叉樹：對於一顆二叉樹，假設其深度爲d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層全部節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱爲徹底二叉樹，其中滿二叉樹的定義是全部葉節點都在最底層的徹底二叉樹;
    • 平衡二叉樹（AVL樹）：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹；
    • 排序二叉樹（二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹、有序二叉樹）；
  • 霍夫曼樹（用於信息編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱爲哈夫曼樹或最優二叉樹；
  • B樹：一種對讀寫操做進行優化的自平衡的二叉查找樹，可以保持數據有序，擁有多餘兩個子樹

樹的存儲和表示

二叉樹一般鏈式存儲

常見應用場景

1.xml，html等，那麼編寫這些東西的解析器的時候，不可避免用到樹
2.路由協議就是使用了樹的算法
3.mysql數據庫索引
4.文件系統的目錄結構
5.因此不少經典的AI算法其實都是樹搜索，此外機器學習中的decision tree也是樹結構

二叉樹

二叉樹是每一個節點最多有兩個子樹的樹結構。一般子樹被稱做「左子樹」（left subtree）和「右子樹」（right subtree

性質(特性)

性質1: 在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點（i>0）
性質2: 深度爲k的二叉樹至多有2^k - 1個結點（k>0）
性質3: 對於任意一棵二叉樹，若是其葉結點數爲N0，而度數爲2的結點總數爲N2，則N0=N2+1;
性質4:具備n個結點的徹底二叉樹的深度必爲 log2(n+1)
性質5:對徹底二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號爲i 的結點，其左孩子編號必爲2i，其右孩子編號必爲2i＋1；其雙親的編號必爲i/2（i＝1 時爲根,除外）

廣度優先遍歷

通常使用隊列queue

深度優先遍歷

深度優先搜索(Depth First Search)是沿着樹的深度遍歷樹的節點，儘量深的搜索樹的分支。

 三種方法 先序遍歷（preorder），中序遍歷（inorder）和後序遍歷（postorder）

先序遍歷  根-左-右

在先序遍歷中，咱們先訪問根節點，而後遞歸使用先序遍歷訪問左子樹，再遞歸使用先序遍歷訪問右子樹 根節點->左子樹->右子樹 

中序遍歷 左-根-右

中序遍歷 在中序遍歷中，咱們遞歸使用中序遍歷訪問左子樹，而後訪問根節點，最後再遞歸使用中序遍歷訪問右子樹

後序遍歷 左-右-根

後序遍歷 在後序遍歷中，咱們先遞歸使用後序遍歷訪問左子樹和右子樹，最後訪問根節點

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """二叉樹"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def breadth_travel(self):
        """廣度遍歷"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem, end="")
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def preorder(self,node):
        """先序遍歷"""
        if node is None:
            return
        print(node.elem, end = "")
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

    def inorder(self,node):
        """中序遍歷"""
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end = "")
        self.inorder(node.rchild)

    def postorder(self,node):
        """先序遍歷"""
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem, end = "")

if __name__ == "__main__":
    tree = Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    tree.breadth_travel()
    print("")
    tree.preorder(tree.root)
    print("")
    tree.inorder(tree.root)
    print("")
    tree.postorder(tree.root)
    print("")

根據遍歷畫出來樹

給定其中兩種，先序和中序 或者  中序和後序， 求樹

思路 以根爲中心

1.先序 和 中序

 

2.中序 和 後序