樹與樹算法

樹（英語：tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實做這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具備樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具備層次關係的集合。

特色：每一個節點有另個或者多個節點；沒有父節點的節點分爲根節點；每一個非根節點只有一個父節點；除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；

 相關術語

• 樹的結點（node）：包含一個數據元素及若干指向子樹的分支；
• 孩子結點（child node）：結點的子樹的根稱爲該結點的孩子；
• 雙親結點：B 結點是A 結點的孩子，則A結點是B 結點的雙親；
• 兄弟結點：同一雙親的孩子結點； 堂兄結點：同一層上結點；
• 祖先結點: 從根到該結點的所經分支上的全部結點子孫結點：以某結點爲根的子樹中任一結點都稱爲該結點的子孫
• 結點層：根結點的層定義爲1；根的孩子爲第二層結點，依此類推；
• 樹的深度：樹中最大的結點層
• 結點的度：結點子樹的個數
• 樹的度： 樹中最大的結點度。
• 葉子結點：也叫終端結點，是度爲 0 的結點；
• 分枝結點：度不爲0的結點；
• 有序樹：子樹有序的樹，如：家族樹；
• 無序樹：不考慮子樹的順序；

 

樹種類：

無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，這種樹稱爲無序樹，也稱爲自由樹；

有序樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關係，這種樹稱爲有序樹；

二叉樹：每一個節點最多含有兩個子樹的樹稱爲二叉樹；

• 徹底二叉樹：對於一顆二叉樹，假設其深度爲d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層全部節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱爲徹底二叉樹，其中滿二叉樹的定義是全部葉節點都在最底層的徹底二叉樹;

•  

• 平衡二叉樹（AVL樹）：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大於1的二叉樹；

•  

• 排序二叉樹（二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹、有序二叉樹）；

•  

霍夫曼樹（用於信息編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱爲哈夫曼樹或最優二叉樹；給定n個權值做爲n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若該樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹爲最優二叉樹，也稱爲哈夫曼樹(Huffman Tree)。哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。

B樹：一種對讀寫操做進行優化的自平衡的二叉查找樹，可以保持數據有序，擁有多餘兩個子樹。

 

二叉樹定義：二叉樹是每一個結點最多有兩個子樹的樹結構。一般子樹被稱做「左子樹」（left subtree）和「右子樹」（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。

二叉樹性質

• (1) 在非空二叉樹中，第i層的結點總數不超過  , i>=1；
• (2) 深度爲h的二叉樹最多有  個結點(h>=1)，最少有h個結點；
• (3) 對於任意一棵二叉樹，若是其葉結點數爲N0，而度數爲2的結點總數爲N2，則N0=N2+1；
• (4) 具備n個結點的徹底二叉樹的深度爲  （注：[ ]表示向下取整）
• (5)有N個結點的徹底二叉樹各結點若是用順序方式存儲，則結點之間有以下關係：若I爲結點編號則 若是I>1，則其父結點的編號爲I/2；若是2*I<=N，則其左孩子（即左子樹的根結點）的編號爲2*I；若2*I>N，則無左孩子；若是2*I+1<=N，則其右孩子的結點編號爲2*I+1；若2*I+1>N，則無右孩子。
• (6)給定N個節點，能構成h(N)種不一樣的二叉樹。h(N)爲卡特蘭數的第N項。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
• (7)設有i個枝點，I爲全部枝點的道路長度總和，J爲葉的道路長度總和J=I+2i

 

二叉樹的遍歷，

先序遍歷：遍歷順序規則爲【根左右】

中序遍歷：遍歷順序規則爲【左根右】

後序遍歷：遍歷順序規則爲【左右根】

 代碼實現

# Author:song
class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """二叉樹"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def breadth_travel(self):
        """廣度遍歷"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem,end=',')
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
        print('')
    def preorder(self,node):
        """先序遍歷"""
        if node is None:
            return
        print(node.elem,end=',')
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

    def inorder(self,node):
        """中序遍歷"""
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end=',')
        self.inorder(node.rchild)


    def posorder(self,node):
        """後序遍歷"""
        if node is None:
            return
        self.posorder(node.lchild)
        self.posorder(node.rchild)
        print(node.elem, end=',')

if __name__ == "__main__":
    tree = Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    print('廣度優先：')
    tree.breadth_travel()
    print('先序遍歷：')
    tree.preorder(tree.root)
    print('')
    print('中序遍歷：')
    tree.inorder(tree.root)
    print('')
    print('後序遍歷：')
    tree.posorder(tree.root)


結果：
廣度優先：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
先序遍歷：
0,1,3,7,8,4,9,2,5,6,
中序遍歷：
7,3,8,1,9,4,0,5,2,6,
後序遍歷：
7,8,3,9,4,1,5,6,2,0,

View Code

 

經過兩個序列能夠肯定一棵樹，其中一定有中序，只給先序後序沒法肯定一棵樹。