經典算法-最大流問題

舉例描述

最大流問題是一個很經典的問題，不少人對此也很熟悉，它可以等同於一個線性規劃問題。下面給出最大流問題的一個基本描述：以下圖所示，s是源點，t爲匯點，每條邊上數字的含義是邊可以容許流過的最大流量。能夠將邊當作管道，0/3表明該管道每秒最多能經過3個單位的流量，0表明當前流量。最大流問題便是說，從s點到t點，最大容許流量是多少？

公式描述

的流量等於流出該點的流量。這個能夠理解爲流量守恆，就如同電流同樣，流入一個電阻的電流必然等於流出的電流。

那麼最大流就能夠表示爲：

Ford-Fulkerson解法介紹

該方法依賴於三種重要思想：殘留網絡，增廣路徑和割

Ford-Fulkerson思想

Ford-Fulkerson是一種迭代的方法。開始時，對全部的u,v屬於V，f(u,v)=0(這裏f(u,v)表明u到v的邊當前流量)，即初始狀態時流的值爲0。在每次迭代中，能夠經過尋找一個「增廣路徑」來增長流值。增廣路徑能夠看作是從源點s到匯點t之間的一條路徑，沿該路徑能夠壓入更多的流，從而增長流的值。反覆進行這一過程，直到增廣路徑都被找出爲止。

增廣路徑

舉個例子來講明下，如圖所示，每條紅線就表明了一條增廣路徑，當前s到t的流量爲3。固然這並非該網絡的最大流，根據尋找增廣路徑的算法咱們其實還能夠繼續尋找增廣路徑。

殘留網絡

顧名思義，殘留網絡是指給定網絡和一個流，其對應還能夠容納的流組成的網絡。具體說來，就是假定一個網絡G=（V，E），其源點s，匯點t。設f爲G中的一個流，對應頂點u到頂點v的流。在不超過C（u，v）的條件下（C表明邊容量），從u到v之間能夠壓入的額外網絡流量，就是邊（u，v）的殘餘容量（residual capacity），定義以下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

舉個例子，假設（u，v）當前流量爲3/4，那麼就是說c（u，v）=4，f（u，v）=3，那麼r（u，v）=1。

咱們知道，在網絡流中還有這麼一條規律。從u到v已經有了3個單位流量，那麼從反方向上看，也就是從v到u就有了3個單位的殘留網絡，這時r（v，u）=3。能夠這樣理解，從u到v有3個單位流量，那麼從v到u就有了將這3個單位流量的壓回去的能力。

咱們來具體看一個例子，以下圖所示一個流網絡

對應的殘留網絡：

求解步驟舉例

1.得到殘留網絡

2.窮舉全部的增廣路徑

以下圖所示：

計算最大流的標號法

這裏介紹計算網絡最大流的簡便方法—標號法，此方法是Ford—Fulkerson 於1956年提出來的，它的原理是利用尋找增廣鏈來不斷改善可行流。 設μ是網絡中 到 的一條鏈，規定 到 的方向爲μ的方向。 μ上與μ的方向一致的弧稱爲前向弧，前向弧的集合記爲μ＋， μ上與μ的方向相反的弧稱爲後向弧，後向弧的集合記爲μ-。

上圖 若給一個可行流｛｝，稱網絡中 = 的弧爲飽和弧，稱 ＜的弧爲非飽和弧，稱 =0的弧爲零流弧，稱 ＞0的弧爲非零流弧。 增廣鏈：設｛｝是可行流， μ是 到 的一條鏈，若μ知足下列條件，則稱μ爲關於 f 的增廣鏈。（注意： f =｛｝） 1°對於任何（ ,）∈μ＋，0≤ ＜ （前向弧爲非飽和弧） 2°對於任何（ ,）∈μ-，0 ＜≤ （後向弧爲非零流弧）

參考：

http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9275177 http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293665/ 以及： http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000048/yun/ch7_04.htm