手把手教系列之IIR濾波器設計
[導讀]：在嵌入式系統中常常須要採集模擬信號，採集模擬信號的信號鏈中不免引入干擾，那麼如何濾除干擾呢？今天就來個一步一步描述如何設計部署一個IIR濾波器到你的系統。算法
何爲IIR濾波器？
無限衝激響應（IIR： Infinite Impulse Response）是一種適用於許多線性時不變系統的屬性，這些系統的特徵是具備一個衝激響應h（t），該衝激響應h（t）不會在特定點上徹底變爲零，而是無限期地持續。 這與有限衝激響應（FIR： Finite Impulse Response）系統造成對比，在有限衝激響應（FIR）系統中，對於某個有限T，在時間t> T時，衝激響應確實剛好變爲零。 線性時不變系統的常見示例是大多數電子和數字濾波器。 具備此屬性的系統稱爲IIR系統或IIR濾波器。編程
這是常見的教科書式數學嚴謹定義，不少人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？數組
線性時不變系統理論俗稱LTI系統理論，源自應用數學，直接在覈磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入信號的響應。雖然這些系統的軌跡一般會隨時間變化（例如聲學波形）來測量和跟蹤，可是應用到圖像處理和場論時，LTI系統在空間維度上也有軌跡。所以，這些系統也被稱爲線性非時變平移，在最通常的範圍理論給出此理論。在離散（即採樣）系統中對應的術語是線性非時變平移系統。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。好比一個運放系統在必定頻帶範圍內知足信號的時域疊加，輸入一個100Hz和200Hz正弦信號，輸出頻率是這兩種信號的線性疊加。微信
用數學對LTI系統描述：函數
線性：輸入\(x_1(t)\),產生響應\(y_1(t)\),而輸入\(x_2(t)\),產生響應\(y_2(t)\),那麼縮放和加和輸入\(a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\),產生縮放、加和的響應\(a_1y_1(t)+a_2y_2(t)\),其中\(a_1\)和\(a_2\)是標量，對於任意的有：輸入\(\sum_{k=0}^{N}a_kx_k(t)\),產生響應\(\sum_{k=0}^{N}a_ky_k(t)\)測試
時不變性：指若是將系統的輸入信號延遲\(\tau\)秒，那麼獲得的輸出響應也相應延時\(\tau\)秒。用數學描述，也即若是輸入\(x_1(t)\),產生響應\(y_1(t)\),而輸入\(x_1(t+\tau)\)，產生響應\(y_1(t+\tau)\)。這麼描述仍是不易懂，來個圖，有圖有真相：優化
假定一個信號放大電路對100Hz正弦信號放大2倍：ui
則輸出爲：spa
而對200Hz的正弦信號，其放大倍數爲1.7倍。（作過運放電路設計的朋友應該有經驗，在其同頻帶其放大倍數每每並不平坦，也即幅頻響應在頻帶內不平坦，這是比較常見的）。命令行
也即輸入爲：
響應爲:
那麼若是輸入100Hz和200Hz的時域疊加信號，則其輸入爲：
則其響應爲：
由這些圖可看出，輸入信號的形狀保持不變，輸出爲對應輸入的線性時域疊加。
對於時不變，就不用圖描述了，在一個真實電路中，若是輸入延遲必定時間，則響應對應延遲相同時間輸出。
上面這麼多文字只是爲了描述在什麼場合可使用IIR濾波器對信號進行數字濾波。總結而言，就是在線性時不變系統中適用。換言之，在大多數電路系統中咱們均可以嘗試採用IIR濾波器進行數字濾波。
那麼究竟什麼是IIR濾波器呢？從數字信號處理的書籍中咱們能看到這樣的Z變換信號流圖：
表示延遲一拍,在數字系統中表示對於輸入信號而言,即爲上一次採樣值,對於輸出而言,即爲上一次的輸出值。
在時域中對於上述流圖，用時域描述即爲：
若是熟悉Z變換，則Z變換傳遞函數爲：
上述數字濾波器，若是從編程的角度來看，x(n-1),表示上一次的信號，多是來自ADC的上次採樣，而y(n-1)則爲上一次濾波器的輸出值，對應就比較好理解x(n-N)就表示前第n次輸入樣本信號，而y(n-M)則爲前第M次濾波器的輸出。
說了這麼多，只是爲了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能用爭取。 概念理解這對工程師而言，很是之重要。
如何設計呢？
打開fdatool
MATLAB提供了很是容易使用的FDATool幫助咱們設計數字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓咱們拭目以待究竟如何一步一步設計並實施一個IIR濾波器。
首先打開MATLAB,在命令行中敲fdatool
彈出窗體就是fdatool了，以下：
在設計具體,有幾個相關概念須要澄清：
Fs：採樣率，單位爲Hz,真實部署在系統中，請務必確保樣本是按照恆定採樣率進行採樣，不然將得不到想要的效果。
Fpass: 通頻帶，單位爲Hz,即系統中指望經過的最高頻率。
Fstop: 截至頻率，即幅頻響應的-3dB處的頻率，這個如不理解，請自行查閱相關書籍。
分貝dB: 這是一個無單位反應輸出與輸入倍數的一個術語。電學中分貝與放大倍數的轉換關係爲：
- A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi)；電壓增益,Vo 爲輸出電壓，Vi爲輸入電壓
- A(I)(dB)=20lg(Io/Ii)；電流增益,Io 爲輸出電流，Ii爲輸入電流
- A(p)(dB)=10lg(Po/Pi)；功率增益，Po 爲輸出功率，Pi爲輸入功率
濾波器類型：這裏有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可選。
- 巴特沃斯 Butterworth，也被稱做最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特色是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有紋波。
- 切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。
- 橢圓 Elliptic，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。
- ...這裏就不一一介紹了，有興趣能夠去查信號處理書籍。
就其特色，這裏對其中幾種略做介紹：
- 巴特沃斯具備最平坦的通帶。
- 橢圓濾波器衰減最快，可是通帶、阻帶都有波紋。
- 切比雪夫濾波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區域可選擇。
假設咱們須要設計一個IIR濾波器，採樣率爲32000Hz, 有用信號頻率在2000Hz內，設計IIR濾波器對信號進行數字濾波。這裏爲節省算力，咱們指定濾波器的階數，也即傳遞函數中N/M中的最大值，通常而言N大於M。
這裏指定階數爲8階，類型指定爲巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數8階，採樣率32000Hz,截至頻率設置爲2000Hz而後點擊Design Filter以下圖所示：
其相頻響應曲線以下：
楚辭以外，咱們還能夠將幅頻與相頻曲線放在一個頻率座標上去看設計結果：
導出濾波器參數，這裏咱們選擇，
選擇ASCII碼
而後就獲得了一個文件，保存2kHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。
文件內容以下：
% Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
% Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06
% Coefficient Format: Decimal
% Discrete-Time IIR Filter (real)
% -------------------------------
% Filter Structure : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections : 4
% Stable : Yes
% Linear Phase : No
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
至此設計工做就結束了，立刻進入濾波器的部署測試階段。
部署測試濾波器
到這裏，沒有經驗的朋友可能會說，這麼一堆參數我該咋用呢？
須要本身去寫前面描述的計算公式嗎？固然你也能夠這麼作，這裏就不寫了,ARM的CMSIS庫已經幫你們設計好了種類繁多的數字信號處理函數實現了，並且通過了測試，這裏直接拿來用便可。有興趣本身寫也不難，只要理解Z傳遞函數概念內涵，很是容易實現。這裏咱們採用32位浮點實現函數：arm_biquad_cascade_df1_f32。
該函數位於：CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c中
以及CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c
咱們來看一看這個函數：
arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：
/*
*做用 :初始化濾波器
*S :指向浮點SOS級聯結構的實例。
*numStages:濾波器中二階SOS的數量
*pCoeffs :濾波器參數指針,參數按下列順序存儲
* {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
*pState :歷史狀態緩衝區指針
*/
void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
uint8_t numStages,
const float32_t * pCoeffs,
float32_t * pState)
{
/* Assign filter stages */
S->numStages = numStages;
/* Assign coefficient pointer */
S->pCoeffs = pCoeffs;
/* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));
/* Assign state pointer */
S->pState = pState;
}
arm_math.h 定義了須用到的結構體，對於本例相關的結構體爲arm_biquad_casd_df1_inst_f32
typedef struct
{
unsigned int numStages; /*2階節的個數，應爲2*numStages. */
float *pState; /*狀態係數數組指針，數組長度爲4*numStages*/
float *pCoeffs; /*係數數組指針， 數組的長度爲5*numStages.*/
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;
濾波器具體濾波函數爲arm_biquad_cascade_df1_f32
/**
* *S ：指向浮點Biquad級聯結構的實例.
* *pSrc ：指向輸入數據塊。
* *pDst ：指向輸出數據塊。
* blockSize：每次調用要處理的樣本數。
* 返回值 ：無.
*/
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
float * pSrc,
float * pDst,
unsigned int blockSize)
{
float *pIn = pSrc; /*源指針 */
float *pOut = pDst; /*目的指針 */
float *pState = S->pState; /*狀態指針 */
float *pCoeffs = S->pCoeffs; /*參數指針 */
float acc; /*累加器 */
float b0, b1, b2, a1, a2; /*濾波器參數 */
float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2; /*濾波器狀態變量*/
float Xn; /*臨時輸入 */
unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循環計數 */
do
{
/* Reading the coefficients */
b0 = *pCoeffs++;
b1 = *pCoeffs++;
b2 = *pCoeffs++;
a1 = *pCoeffs++;
a2 = *pCoeffs++;
Xn1 = pState[0];
Xn2 = pState[1];
Yn1 = pState[2];
Yn2 = pState[3];
sample = blockSize >> 2u;
while(sample > 0u)
{
/* 讀第一個輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
/* 狀態應更新爲: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* Read the second input */
Xn2 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
/* 狀態應更新爲: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/*讀第三個輸入 */
Xn1 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
/* 狀態應更新爲: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* 讀第四個輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次計算輸出後，狀態都應更新. */
/* 狀態應更新爲: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
/* 遞減循環計數器 */
sample--;
}
/* 若是blockSize不是4的倍數，
*請在此處計算任何剩餘的輸出樣本。
*不使用循環展開. */
sample = blockSize & 0x3u;
while(sample > 0u)
{
/* 讀取輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 將結果存儲在目標緩衝區的累加器中. */
*pOut++ = acc;
/* 每次計算輸出後，狀態都應更新。 */
/* 狀態應更新爲: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
Yn2 = Yn1;
Yn1 = acc;
/* d遞減循環計數器 */
sample--;
}
/* 將更新後的狀態變量存儲回pState數組中 */
*pState++ = Xn1;
*pState++ = Xn2;
*pState++ = Yn1;
*pState++ = Yn2;
/*第一階段從輸入緩衝區到輸出緩衝區. */
/*隨後的numStages在輸出緩衝區中就地發生*/
pIn = pDst;
/* 重置輸出指針 */
pOut = pDst;
/* 遞減循環計數器 */
stage--;
} while(stage > 0u);
}
開始測試：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
/*
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
作以下轉換：
1.縮放
[1 2 1] * 0.035416141341387819
[1 2 1] * 0.031387100113383172
[1 2 1] * 0.028873109331868367
[1 2 1] * 0.027673522765052503
獲得：
[0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819]
[0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172]
[0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367]
[0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503]
2.舍掉第四列參數
3.將後兩列分別乘以-1，即：
0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
這樣就獲得了濾波器係數組了
*/
#define IIR_SECTION 4 /*見前面設計輸出爲4個SOS塊*/
static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*歷史狀態緩衝區 */
const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461, 0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635, 0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591, 0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
};
static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
/*假定採樣512個點*/
#define BUF_SIZE 512
#define PI 3.1415926
#define SAMPLE_RATE 32000 /*32000Hz*/
int main()
{
float raw[BUF_SIZE];
float raw_4k[BUF_SIZE];
float raw_out[BUF_SIZE];
float raw_noise[BUF_SIZE];
float raw_noise_out[BUF_SIZE];
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
if(pFile==NULL)
{
printf("file opened failed");
return -1;
}
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
/*模擬9000Hz輸入信號 */
raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
/*模擬9000Hz +11000Hz疊加輸入*/
raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
}
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
}
/*從新初始化*/
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
}
fclose(pFile);
return 0;
}
利用csv文件，將模擬數據存儲，直接用excel打開，將行數據生成曲線圖以下：
- 第一幅圖，爲800Hz信號混入隨機噪聲的波形
- 第二幅圖，爲4000Hz信號，對假定系統爲無用干擾信號
- 第三幅圖， 爲800Hz 混入隨機噪聲過濾後，已經很好的還原有用信號頻率
- 第四幅圖， 爲800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的波形，對系統而言，從時域中，明顯可見，有用信號已經徹底扭曲
- 第五幅圖，爲800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的輸入，通過該低通濾波器後的波形，與第三幅圖基本同樣，已經很是好的濾除了干擾信號。
總結：
-
IIR濾波器在線性時不變系統中能夠很好的解決工程中通常噪聲問題
-
若是須要設計帶通、高通濾波器其步驟基本相似，只是濾波器的參數以及SOS塊個數可能不同而已
-
須要提醒的時，IIR的相頻響應不線性，若是系統對相頻響應有嚴格要求，就須要採用其餘的數字濾波器拓撲形式了
-
實際應用中，若是階數不高時，如今算力強勁的單片機或者DSP以及能夠直接使用浮點處理。
-
若是對處理速度有嚴格的實時要求，須要在極短期進行濾波處理，能夠考慮下降階數，或採用定點IIR濾波算法實現。也或者將文中函數進行彙編級優化。
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- 1. 手把手教系列之梳狀濾波器設計實現
- 2. 手把手教系列之FIR濾波器設計
- 3. 手把手教系列之移動平均濾波器實現
- 4. 手把手教你用matlab生成STM32官方IIR濾波器的係數
- 5. IIR數字濾波器設計
- 6. IIR濾波器設計——個人感悟
- 7. IIR數字濾波器的設計
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