二進制中 1 的個數（C++ 和 Python 實現）

（說明：本博客中的題目、題目詳細說明及參考代碼均摘自 「何海濤《劍指Offer：名企面試官精講典型編程題》2012年」）

題目

　　請實現一個函數，輸入一個整數，輸出該數二進制表示中 1 的個數。例如把 9 表示成二進制是 1001，有 2 位是 1。所以若是輸入 9，該函數輸出是 2。

算法設計思想

　　計算一個整數的二進制表示中 1 的個數有多種算法。本文主要介紹兩種算法，按位與運算算法和快速算法，更多算法，能夠查看網友 zdd 的博文 「算法-求二進制數中1的個數」。

　　按位與運算算法思想很簡單，即對整數的二進制表示的每一位與 1 求與，所得結果爲非 0 的個數，即爲一個整數二進制表示中 1 的個數，這種算法所需的移位次數至少爲整數的二進制表示中，數字 1 所在的最高位的位次（例如 0b0101，高位和低位所在的位次分別爲 2 和 0），不夠高效；

　　快速算法，則不採用移位操做，而是用整數 i 與這個整數減 1 的值 i - 1，按位求與，如此能夠消除，整數的二進制表示中，最低位的 1 。整數的二進制表示有幾個 1，則只需計算幾回。在 C/C++ 實現時，負整數溢出後爲最大整數，但 Python 數值類型（Numeric Type）不會出現溢出的狀況，因此，此時，還須要對邊界值進行限定。

注，整數的二進制表示方式和移位操做處理方式：
1）整數的二進制表示方式：在計算機中，整數的二進制表示中，最高位爲符號位。最高位爲 0 時，表示正數； 最高位爲 1 時表示負數。
2）對整數的移位操做：
當整數是負數時，右移時，最低位丟棄，最高位補 1；  左移時，最高位丟棄，最低位補 0。
當整數是正數時，右移時，最低位丟棄，最高位補 0；  左移時，最高位丟棄，最低位補 0 。

 

C++ 實現

/* * Author: klchang * Date: 2017.12.16 * Description: Compute the number of 1 in the binary representation of an integer. */ #include <iostream>

#define INT_BITS 32

// Generic method: bitwise and operation with a number that has only one 1 in binary.
int numberOf_1_InBinary_Generic(int i) { int count = 0; int shiftCount = 0; while (i && shiftCount < INT_BITS) { if (i & 1) { ++ count; } i = i >> 1; ++ shiftCount; } return count; } // Fast method: bitwise and operation between integer i and (i-1).
int numberOf_1_InBinary_Fast(int i) { int count = 0; while (i) { std::cout << "iter " << count << ": " << i << std::endl; i = i & (i - 1); count ++; } return count; } void unitest() { int data[] = {-5, 0, 5}; std::cout << "---------------------- Generic Method -----------------------"  << std::endl; for (int i = 0; i < 3; ++i) std::cout << "The number of 1 in the binary representation of " << data[i] << " is "
                  << numberOf_1_InBinary_Generic(data[i]) << ".\n" << std::endl; std::cout << "----------------------- Fast Method --------------------------"  << std::endl; for (int i = 0; i < 3; ++i) std::cout << "The number of 1 in the binary representation of " << data[i] << " is "
                  << numberOf_1_InBinary_Fast(data[i]) << ".\n" << std::endl; } int main() { unitest(); return 0; }

 

Python 實現

原理

　　爲了更好的理解這個問題在 Python 中的實現，先簡單介紹 Python 數值類型，須要注意 Python 2 和 Python 3 的數值類型是有些區別的。Python 2 的數值類型有 4 種類型，即 int, long, float 和 complex 。而在 Python 3 中，int 和 long 類型已經整合到一塊兒，成爲新的 int 類型，也就是說，Python 3 中，只有 3 種類型，即 int, float 和 complex。 對 bool 類型，在 Python 2 中，其是普通整型 int （at least 32 bits of precision）的子類型；在 Python 3 中，其是 int 類型（unlimited precision）的子類型。

　　Python 2 的數值類型 int 是普通整型，是有範圍的，能夠經過 sys.maxint 獲取其最大值，至少 32 bit。當 Python 2 程序中的整數值超出範圍後，自動轉換爲 long 類型，而 long 類型是沒有範圍限制的，即 unlimited precision。在 Python 3 中，這兩種類型被統一塊兒來，表示爲 int 類型，與 Python 2 的數值類型 long 相同，沒有範圍限定（unlimited precision）。也就是說，在 Python 中，整型數是沒有溢出的（overflow）。在 Python 程序中，當對一個負整數與其減 1 後的值按位求與，若結果爲 0 退出，循環執行此過程。因爲整型數能夠有無限的數值精度，其結果永遠不會是 0，如此編程，在 Python 中，只會形成死循環。而在 C/C++ 中，整數（32 bit）的範圍是 [ - 2147483648, 2147483647 ]，與此相對， Python 2 中的 long 類型和 Python 3 中 int 類型，若是不指定整型數的位數，是沒有範圍限制的。

注：數值精度（numeric precision）是指數值中的數字位數（the number of digits）；數值尺度（numeric scale）是指數值中的小數位數（the number of digits after the decimal point）。例如 123.45 可表示爲 decimal(p = 5, s = 2)，即 10進制，數值精度爲 5， 數值尺度爲 2。

實現

#!/usr/bin/python # -*- coding: utf8 -*-
""" # Author: klchang # Date: 2017.12.16 # Description: Compute the number of 1 in the binary representation of an integer. """ INT_BITS = 32 MAX_INT = (1 << (INT_BITS - 1)) - 1  # Maximum Integer for INT_BITS


# Generic method: bitwise and operation with a number that has only one 1 in binary.
def number_of_1_in_binary_generic(num): count, bit = 0, 1
    while num and bit <= MAX_INT + 1: if bit & num: count += 1 num -= bit bit = bit << 1

    return count # Fast method: bitwise and operation between integer num and (num-1).
def number_of_1_in_binary_fast(num): count = 0 while num: if num < - MAX_INT - 1 or num > MAX_INT: break
        print("iter %d: %d" % (count, num)) count += 1 num = num & (num-1) return count def unitest(): nums = [-5, 0, 5] # Generic Method
    print("-" * 30 + " Generic Method " + "-" * 30) for n in nums: print("The number of 1 in the binary representation of %d is %d.\n" % (n, number_of_1_in_binary_generic(n))) # Fast Method
    print('\n' + "-" * 30 + " Fast Method " + "-" * 30) for n in nums: print("The number of 1 in the binary representation of %d is %d.\n" % (n, number_of_1_in_binary_fast(n))) if __name__ == '__main__': unitest()

 

參考代碼

 1. targetver.h

#pragma once

// The following macros define the minimum required platform. The minimum required platform // is the earliest version of Windows, Internet Explorer etc. that has the necessary features to run // your application. The macros work by enabling all features available on platform versions up to and // including the version specified. // Modify the following defines if you have to target a platform prior to the ones specified below. // Refer to MSDN for the latest info on corresponding values for different platforms.
#ifndef _WIN32_WINNT            // Specifies that the minimum required platform is Windows Vista.
#define _WIN32_WINNT 0x0600     // Change this to the appropriate value to target other versions of Windows.
#endif

2. stdafx.h

// stdafx.h : include file for standard system include files, // or project specific include files that are used frequently, but // are changed infrequently // 
#pragma once #include "targetver.h" #include <stdio.h> #include <tchar.h>



// TODO: reference additional headers your program requires here

3. stdafx.cpp

// stdafx.cpp : source file that includes just the standard includes // NumberOf1.pch will be the pre-compiled header // stdafx.obj will contain the pre-compiled type information
 #include "stdafx.h"

// TODO: reference any additional headers you need in STDAFX.H // and not in this file

4. NumberOf1.cpp

// NumberOf1.cpp : Defines the entry point for the console application. //

// 《劍指Offer——名企面試官精講典型編程題》代碼 // 著做權全部者：何海濤
 #include "stdafx.h" #include <string.h> #include <stdlib.h>

// ====================方法一====================
int NumberOf1(unsigned int n); int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n) { int number = 0; for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i) number += NumberOf1(i); return number; } int NumberOf1(unsigned int n) { int number = 0; while(n) { if(n % 10 == 1) number ++; n = n / 10; } return number; } // ====================方法二====================
int NumberOf1(const char* strN); int PowerBase10(unsigned int n); int NumberOf1Between1AndN_Solution2(int n) { if(n <= 0) return 0; char strN[50]; sprintf(strN, "%d", n); return NumberOf1(strN); } int NumberOf1(const char* strN) { if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0') return 0; int first = *strN - '0'; unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN)); if(length == 1 && first == 0) return 0; if(length == 1 && first > 0) return 1; // 假設strN是"21345" // numFirstDigit是數字10000-19999的第一個位中1的數目
    int numFirstDigit = 0; if(first > 1) numFirstDigit = PowerBase10(length - 1); else if(first == 1) numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1; // numOtherDigits是01346-21345除了第一位以外的數位中1的數目
    int numOtherDigits = first * (length - 1) * PowerBase10(length - 2); // numRecursive是1-1345中1的數目
    int numRecursive = NumberOf1(strN + 1); return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive; } int PowerBase10(unsigned int n) { int result = 1; for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i) result *= 10; return result; } // ====================測試代碼====================
void Test(char* testName, int n, int expected) { if(testName != NULL) printf("%s begins: \n", testName); if(NumberOf1Between1AndN_Solution1(n) == expected) printf("Solution1 passed.\n"); else printf("Solution1 failed.\n"); if(NumberOf1Between1AndN_Solution2(n) == expected) printf("Solution2 passed.\n"); else printf("Solution2 failed.\n"); printf("\n"); } void Test() { Test("Test1", 1, 1); Test("Test2", 5, 1); Test("Test3", 10, 2); Test("Test4", 55, 16); Test("Test5", 99, 20); Test("Test6", 10000, 4001); Test("Test7", 21345, 18821); Test("Test8", 0, 0); } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { Test(); return 0; }

5. 參考代碼下載

項目 10_NumberOf1 下載： 百度網盤

何海濤《劍指Offer：名企面試官精講典型編程題》 全部參考代碼下載：百度網盤

 

參考資料

[1]  何海濤. 劍指 Offer：名企面試官精講典型編程題 [M]. 北京：電子工業出版社，2012. 77-82.

[2] Python Software Foundation. Python 2.7.14 Documentation, The Python Standard Library, 5.4. Numeric Types — int, float, long, complex [OL]. https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html#numeric-types-int-float-long-complex. 2017.

[3] Python Software Foundation. Python 3.6.4rc1 Documentation, The Python Standard Library, 4.4. Numeric Types — int, float, complex [OL]. https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#numeric-types-int-float-complex. 2017.

[4] Stack Overflow Users. How do I interpret precision and scale of a number in a database [OL]. https://stackoverflow.com/questions/2377174/how-do-i-interpret-precision-and-scale-of-a-number-in-a-database.