CTOP問題：Bi-level Filter-and-Fan method

1.引言

標準車輛路徑問題VRP是把給定的全部顧客指派到對應車輛/載具，肯定車輛訪問顧客的順序，使得車輛的行駛里程最小。但在實際應用中，因爲資源有限或操做受限等緣由，只有一部分顧客可以被服務或訪問。這類問題可建模成：給定顧客集合，考慮選擇其中的一個子集進行訪問，在知足車輛某些運營條件下優化特定目標。Team Orienteering Problems（TOP）就是這樣一類問題，其優化目標是：在知足車輛行駛時間不超過給定閾值前提下，最大化訪問的顧客的總收益。另外一種問題爲Profitable Tour Problem（PTP），其優化目標爲最大化淨收益=收益-行駛費用（和行駛距離相關）。考慮車輛容量約束時，TOP的變體就是Capacitated Team Orienteering Problem（CTOP）。相似地，考慮車輛容量約束的PTP爲Capacitated Profitable Tour Problem（CPTP）。

因爲TOP是NP-hard的組合優化問題，精確算法在求解大規模問題時比較吃力。本文提出一個通用、新穎的雙層啓發式算法來求解CTOP：上層經過Filter-and-Fan方法肯定要訪問的顧客子集來最大化總收益；下層經過變鄰域降低（Variable Neighborhood Descent）算法來最小化車輛的總里程。Filter-and-Fan方法結合了禁忌搜索和filter-and-fan Search策略，考慮大鄰域結構和多條搜索路徑來克服局部最優性。本文提出的Bi-level Filter-and-Fan方法要優於已有的求解CTOP的啓發式算法，且在大規模CTOP測試用例上表現出色：可以在較短的計算時間內改進當前已知的最優解。

CTOP能夠用一個徹底無向圖<N, A>表示，N = {0, 1, 2, . . . ,n}爲顧客/節點集合，0表示倉庫，$N_c$ = N\{0}爲可能訪問的節點集合，每一個節點有事先定義好的收益$p_i$、服務時間$s_i$、非負需求$d_i$。

每條弧(i,j)∈A都對應一個非負費用$c_{ij}$，$c_{ij} = c_{ji}$。共有K輛徹底相同的車輛，容量爲Q，從倉庫出發訪問完節點後最終會到倉庫。整數規劃形式以下

變量$x_{ijk}$ -車輛k是否通過弧（i,j），表示車輛k的訪問路徑。變量$y_{ik}$-車輛k是否訪問節點i。

約束（2）表示一共有K輛車離開倉庫，又返回到倉庫，限制車輛的總數；

約束（3）限制每一個節點最多被訪問一次；

約束（4）保證車輛k行駛路徑的連通性，若是車輛k訪問節點i，那麼車輛k必定通過某條邊到達節點i、必定通過某條邊從節點i出發；

約束（5）限制車輛k的行駛總時間不超過給定閾值T；

約束（6）限制車輛k的裝載量不超過其容量Q；

約束（7）限制車輛k訪問的路徑中沒有子迴路；

約束（8）限制變量$x_{ijk}$ 、$y_{ik}$爲二元變量。

上述整數規劃中變量個數隨問題規模增長而快速增長：$x_{ijk}$個數爲O($n^2$K)、$y_{ik}$個數爲O(nK)。

3.求解方法

3.1總體求解框架

本文將CTOP分解爲一個主問題-揹包問題（knapsack problem），子問題-有容量限制的車輛路徑問題（CVRP）。主問題肯定要訪問的節點子集來最大化總收益，子問題對於給定的節點集合，肯定車輛路徑即車輛訪問節點順序，來最小化車輛總里程。基於此分解思路，設計雙層搜索方法Filter-and-Fan method來求解CTOP。

首先，經過啓發式方法構造初始可行解；而後，使用禁忌搜索（Tabu Search）從初始可行解出發獲得局部最優解；其次，使用filter-and-fan Search對局部最優解進行改進，獲得新的局部最優解；而後對新的局部最優解重複Tabu Search、filter-and-fan Search步驟，直到不能被改進爲止。整個求解框架重複、交替進行禁忌搜索（Tabu Search）和filter-and-fan Search，直到局部最優解不能被改進，返回獲得的局部最優解。 Bi-level指的是在禁忌搜索和Filter-and-Fan Search中使用變鄰域降低算法VND。

3.2構造初始可行解：並行貪婪插入

以倉庫爲中心，T/2爲半徑的圓內全部節點爲選中的節點，將這些選中的節點按照收益從高到低排序。對每一個節點，考慮在每輛車可行的插入位置。迭代地，依次將選中的節點插入到費用最小的位置上，這裏費用最小（即「貪婪」）包括兩個方面：一方面指車輛的總行駛時間儘量短，另外一方面指車輛的行駛距離儘量短。直至選中的節點都安排到車輛路徑中。初始可行解即爲K輛車的訪問路徑。

3.3上層搜索策略：收益最大化

3.3.1 收益導向的鄰域結構

上層搜索策略以最大化選中節點的總收益爲目標，所以定義了三種以收益爲導向的鄰域結構：1–1 Replace, 2–1 Replace and 1–2 Replace。

1–1 Replace：將路徑r中某個節點i（被選中的節點/顧客）與一個沒有被選中的節點j 交換。在移除節點i前/後，檢查節點j可行的插入位置。特別地，若是不須要移除節點i，就找到節點j的可行插入位置，該操做就退化爲單點插入；

2–1 Replace：去掉路徑中的兩個節點（被選中的節點），插入一個未被選中的節點。移除兩個被選中的節點後，檢查可行的插入位置；

1–2 Replace：去掉路徑中的一個節點，插入兩個未被選中的節點。移除被選中的節點後，檢查可行的插入位置；

上面的操做是去掉被選中的節點，插入未被選中的節點，而每一個節點對應收益，這些操做直接影響總收益，因此稱爲「收益爲導向」。從初始可行解出發，使用上述鄰域結構，可產生對應的鄰域。時間複雜度均爲多項式時間，依次爲O($n^3$)、O($n^4/2$)、O($n^5/2$)。

在局部搜索過程當中，爲減小計算時間，評估鄰域中解的收益時，只須要考慮受影響的路徑（有節點移除、插入），其餘不受影響的路徑其收益不變。這就須要有特定的數據結構來存儲訪問過的解的信息，下面的filter-and-fan Search方法可解決該問題。

3.3.2 禁忌搜索（Tabu Search）

禁忌搜索是一種常見的鄰域搜索方法，從初始解s出發，迭代從鄰域$ϕ_y​(s)$中選擇不在禁忌列表中的容許解（admissible solution）進行訪問，直到知足某個終止條件。禁忌列表來存儲最近若干次被訪問的解，若禁忌列表中某個解被訪問能對目標函數帶來較大的提高，該解可被解禁，即從禁忌列表中移除。經過禁忌列表和解禁的操做，跳出局部最優。

這裏，有兩個參數須要設置：$u_t$--禁忌列表的長度，$z_t$--最大迭代次數。這兩個參數影響最終返回的局部最優解的質量。

3.3.3 Filter-and-Fan Search

禁忌搜索可當作單點搜索策略，每次迭代從一個解出發，在其鄰域中選擇下一個要訪問的解。Filter-and-Fan Search可看做多點搜索策略，構造了廣度優先的鄰域樹，每次迭代從樹的一層（多個解）向下進行搜索。這裏用兩個參數來控制鄰域樹的大小，每層節點（解）個數$n_1$和樹的深度L。

Filter-and-Fan搜索考慮更大的鄰域，$ϕ_s$​={$ϕ_{y1}​​,ϕ_{y2}​​,ϕ_{y3}$​​},給定當前解s，在鄰域$ϕ_s$​中尋找收益最高的$n_1$個點。給定根節點$s_0$，在鄰域$ϕ_s$​中尋找收益最高的$n_1$個點做爲第一層的節點；對第l層的某個節點，選擇其鄰域中收益最高的$n_1$個點，則第i層$n_1$個點，共產生$n_1^2$個候選點。這個過程就像扇子同樣，稱爲fan process。從這$n_1^2$個候選點中，再選擇收益最高的$n_1$個點做爲第l+1層的節點，這個過程稱爲filter process。fan process產生鄰域樹逐層生長的候選點，filter process控制樹的每層節點個數。

Filter-and-Fan搜索總體看，相似於多線程的禁忌搜索。同時，藉助於樹結構記錄了搜索過程當中訪問的每一個點，爲評估解的收益時只考慮受影響的路徑提供了方便。這也是Filter-and-Fan搜索計算時間短的主要緣由。

3.4下層搜索策略：距離最小化

針對禁忌搜索或Filter-and-Fan Search產生的解，下層搜索策略以最小化車輛行駛（路徑）總里程爲目標，採用有序搜索方式進行改進。下層搜索策略考慮交換邊的鄰域結構：2-Opt、1–1 Exchange、1–0 Relocate，將這三種鄰域結構依次標號爲一、二、3。首先嚐試標號1的鄰域結構，若是找到更優解（距離更短），從更優解繼續迭代；不然，依次嘗試標號高的鄰域二、3，若在標號最大的鄰域，都沒有找到更優的解，搜索終止。

其中，2-Opt：交換同一條路徑上的兩條邊；1–1 Exchange：交換不一樣路徑上的兩條邊；1–0 Relocate：去掉一條路徑上的邊，插入到另外一條路徑上。

4.計算實驗

4.2 參數設置和實證分析

採用130個前人論文中使用的CTOP實例，進行實驗，從解的質量（相對當前已知最優解的偏離百分比）、求解時間兩個方面分析算法參數的影響。其中，相對當前已知最優解的偏離百分比=（當前已知最優解對應收益-算法求出解對應收益）/當前已知最優解對應收益*100%。

4.2.1 禁忌搜索效果分析

考慮禁忌列表長度$u_t$、最大迭代次數$z_t$對求解的影響。這裏，在總體搜索框架Algorithm1中不使用Filter-and-Fan Search，只考慮禁忌搜索。

單獨使用禁忌搜索在將近10s時間內能夠改進當前已知最優解0.01%（$u_t$ = 30 and $z_t$ = 6000）。

4.2.2 Filter-and-Fan Search效果分析

單獨使用Filter-and-Fan Search，討論參數鄰域樹每層節點個數$n_1$和樹的深度L對求解的影響。

當每層節點個數=200，樹的深度=125時，能夠改進當前已知最優解0.01%。考慮到計算時間，每層節點個數=100、樹的深度=100看起來是不錯的選擇。

4.2.3 組合效果分析

結合使用禁忌搜索和Filter-and-Fan Search，正如Algorithm1中所示Bi-level Filter-and-Fan method，固定參數$n_1$=100、L=100，考慮禁忌搜索參數$u_t$、$z_t$的組合影響。

Bi-level Filter-and-Fan method平均在6.83s內可改進當前已知最優解0.012%，且迭代次數少於1000次（$u_t$ = 30, $z_t$ = 750, $n_1$ = 100，L = 100）。而單獨使用禁忌搜索改進當前最優解0.01%須要迭代6000次，時間將近10s（$u_t$ = 30 and $z_t$ = 6000）。

4.2.4 雙層搜索機制的效果分析

single-level指的是在禁忌搜索和Filter-and-Fan Search中不使用變鄰域降低算法VND。

在求解時間、解的質量方面，雙層搜索機制都要優於單層搜索機制。

4.3 CTOP測試用例上求解結果對比

BiF&F-s、BiF&F-f表示雙層搜索機制的兩種不一樣參數配置：s-slow($z_t$ = 10,000, $u_t$ = 30, $n_1$ = 100 and L = 100)，f-fast($z_t$ = 750, $u_t$ = 30, $n_1$ = 100, L = 100)。BiF&F-b表明BiF&F使用各類參數配置得獲得的最佳解，b-best。

採用BiF&F-s、BiF&F-f和前人論文Archetti et al. (2009)中提出的啓發式算法VNS、TSf在130個測試用例上進行對比。部分結果以下

注：BK-已知最優解（best known results）；p-總收益（total profit）, t-計算時間（computational time），%D-相對已知最優解BK的偏離百分比。

BiF&F-f、BiF&F-s在130個CTOP測試用例上表現出色：BiF&F-f能夠在6.83s（平均）內對已知最優解BK的改進爲0.012%，得到12個新的最優解；BiF&F-s可在14.36s內對已知最優解改進爲0.04%，得到18個新的最優解。

4.4 大規模CTOP實例上表現

BiF&F-f在大規模CTOP實例上獲得的解與最佳解的平均偏離爲0.18%，最大偏離低於2.52%，平均計算時間爲1365s。BiF&F-s與最佳解的平均偏離爲0.01%，最大偏離不超過0.53%，平均計算時間爲4,657.76s。部分結果以下