機率筆記6——多維隨機變量

　　和其它問題同樣，機率也可能同時受到多個條件的影響，例如考察某地區中學生的身體素質，隨機地選取一名學生，觀察學生的身高 X，體重 Y 和肺活量 Z 等指標。隨機變量 X，Y，Z 來自同同樣本空間，它們的取值可能相互影響。像這樣同時考慮的多個隨機變量，稱爲多維隨機變量。本章以二維隨機變量爲例，介紹多維隨機變量的相關概念。

聯合分佈

　　和一維變量的機率分佈相似，聯合分佈把舞臺擴展到了多維，這裏的「聯合」就是多個隨機變量的意思。

　　假設一個事件受到兩個變量x和y的影響，它的聯合分佈定義爲：

　　其中X表示具體的取值，x表示變量。

　　上一章提到過，分佈是指機率的累加，是把事件映射爲數字，一個二維聯合分佈的變量取值範圍是整個二維平面，但F(x,y)的取值範圍是0~1。

離散型

聯合機率

　　聯合機率指的是包含多個條件且全部條件同時成立的機率，也叫聯合分佈率。

　　用x_i和y_j的兩個隨機變量全部可能的取值，P(X=x_i, Y=y_j)表示在X=x_i和Y=y_j下事件發生的機率。設P(X=x_i, Y=y_j)=p_ij，則下表是二維離散型隨機變量(X, Y)的聯合機率：

　　聯合分佈率其實是一個矩陣。既然是機率，聯合機率也知足下面兩個條件：

聯合分佈

　　一維隨機變量的分佈函數：

　　二維隨機變量的分佈函數：

　　其中：

　　分佈函數和分佈略有區別，「分佈」是指累加機率，「分佈函數」是將累加機率函數化。F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}是分佈函數，它的值是全部在X≤x,Y≤y下的機率分佈。

邊緣分佈

　　先看錶1的第一行，它固定了x=x₁，此時在表格右側加入一列：

　　p_1·表示x的取值固定，y取任意值時的機率分佈，即：

　　因爲p_1·是寫在表格的邊緣，因此稱爲x=x₁的邊緣分佈。對於任意行來講：

　　這其實是在表示X= x_i時事件發生的機率。相似的，y=y_j的邊緣分佈是：

條件機率

　　條件機率是指在A事件發生的條件下，事件B發生的機率，表示爲P(B|A)，它有一個重要公式：

　　多維隨機變量的條件機率公式與此相似，在Y=y_j 條件下X=x_i的機率：

獨立性

　　對於二維離散型隨機變量(X, Y)來講，若是知足：

　　那麼這兩個隨機變量之間是沒有相互影響的，稱X和Y之間互相獨立。反過來也同樣，若是知足了獨立性，那麼必然有上式的關係。

連續型

　　因爲是連續型變量，因此沒法像離散型變量那樣簡單地計算在某一點的機率（機率能夠表示爲幾何度量，點的度量是0，所以算某一點的機率也是0，或者說計算點的機率沒有意義），只能計算某一取值範圍內的機率，也就是機率分佈（機率的累加）。

聯合機率密度函數和聯合分佈

　　某個地區的人口密度越大，這個地區的人口越多。一樣的，機率密度越大，說明這個區域的發生某件事的機率越大。

　　設F(x,y)是二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合分佈函數，若是存在一個非負函數f(x,y)，對於任意實數x,y，有：

　　則稱f(x,y)是二維連續型隨機變量(X,Y)的聯合機率密度函數。

　　u和v在計算後定積分後會被x和y代替。能夠對比上一章中一維隨機變量的分佈函數來理解F(x,y)。機率分佈是機率的累加，而累加正好是積分的定義。在幾何上，F(x,y)表示了曲面柱體的體積：

　　假設在R區域上，x₁<x<x₂, y₁<y<y₂，那麼該區域上的機率分佈是：

　　dydx是R上的面積積元，它是面積無限接近0的小矩形，但不是0。至此，機率和多重積分聯繫到一塊兒。上式中沒有u和v，這是因爲已經肯定了x和y的取值範圍，且f原本就是關於x和y的函數，所以不必再引入u和v。若是非要使用u和v，那麼上式等價於：

　　因爲F是分佈函數，所以在整個定義域上知足：

邊緣分佈和邊緣密度函數

　　聯合分佈表達的是二維隨機變量(X, Y)的總體分佈，同時X和Y也有各自的邊緣分佈。與離散型相似，連續型隨機變量的邊緣分佈是隻認爲有一個變量，其它變量都看做常量。

　　X的邊緣分佈，表示將x看做常量，無論Y的取值：

　　Y的邊緣分佈，表示將y看做常量，無論x的取值：

　　設(X, Y)的聯合密度函數是f(x,y)，那麼(X, Y)的聯合分佈能夠表示爲：

　　X的邊緣分佈限定了X的取值是X≤x，y能夠取任意值，此時X的邊緣分佈能夠寫成：

　　分佈表明了累加，連續型分佈是用積分表示的，F_X(x)表示P{X≤x, Y<∞}的累加，是對dx的積分，所以X的邊緣分佈的密度函數是上式的內積分：

　　把u,v換成x,y，X的邊緣分佈的密度函數是：

　　相似的，Y的邊緣分佈的密度函數是：

條件分佈和條件密度函數

　　條件機率公式：

　　對於連續型變量來講，單點的機率沒有意義，所以將上式推廣到連續型隨機變量後就變成了「分佈」，好比給定Y值的條件下X的機率分佈。

　　設(X, Y)的聯合密度函數是f(x,y)，邊緣密度函數是f_X(x)和f_Y(y)，若是固定x，則稱下式爲X=x條件下Y的機率密度：

　　一樣，Y=y條件下X的機率密度：

　　有了機率密度，天然能夠求得相應的分佈，給定Y值的條件下X的機率分佈：

獨立性

　　對於二維連續型隨機變量(X, Y)來講，若是知足：

　　那麼這兩個隨機變量之間是沒有相互影響的，稱X和Y之間互相獨立。反過來也同樣，若是知足了獨立性，那麼必然有上式的關係。

二維均勻分佈

　　設R是平面上的有界區域，面積爲A，若二維隨機變量(X,Y)具備機率密度：

　　則稱(X, Y)在R上服從均勻分佈。

　　若是在R區域上x在x₁<x<x₂上服從均勻分佈，那麼X在x₁<x<x₂的邊緣分佈的密度函數是：

　　若(X, Y) 服從R區域上的均勻分佈，則對於R上的任一子區域D，都有：

　　上式其實是在說，若是(X,Y)在某個區域內服從均勻分佈，則意味着(X,Y)在該區域內具備「等可能」性。

二維正態分佈

　　若二維隨機變量(X,Y)具備機率密度：

　　則稱(X,Y)服從參數爲 的二維正態分佈，記做：

　　f(x,y)的是一個倒鍾型曲面：

示例

示例1

　　X服從(0,1)上的均勻分佈，在X=x(0<x<1)的條件下，Y在(0,x)內服從均勻分佈，f(x,y)=?, 2. f_Y(y)=?

　　先看1，X服從某一個區域的邊緣分佈意味着：

　　X服從(0,1)上的均勻分佈，則x₁ = 0, x₂ = 1：

　　「Y在(0,x)內服從均勻分佈」:

　　

　　2. Y的邊緣分佈的密度函數是：

　　如今只須要肯定的積分域便可，由0<y<x<1可知，積分上限是1，下限是y：

示例2

　　設二維隨機變量(X, Y)的聯合機率密度是：

　　1. A=? 2.求分佈函數F(x,y) 3.求機率P{Y≤X}

　　

　　1. 整個定義域上分佈函數知足：

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　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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