等差數列與等比數列

數列

按照必定順序排列着的一列數稱爲數列

數列中的每個數叫作這個數列的項

數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱爲這個數列的第一項(一般也叫作首項)

數列的通常形式能夠寫成

\[a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots, \]

簡記爲\(\{ a_n\}\)， 項數有限的數列叫作有窮數列，項數無限的數列叫作無窮數列

按照數列的每一項隨序號變化的狀況對數列分類：

• 從第\(2\)項起，每一項都不小於它前一項的數列叫作遞增數列

• 從第\(2\)項起，每一項都不大於它前一項的數列叫作遞減數列

• 各項相等的數列叫作常數列

• 從第\(2\)項起，有些項大於它前一項，有些項小於它前一項的數列叫作擺動數列

等差數列

若是一個數從第\(2\)項起，每一項與它前一項的差等於同一個常數，那麼這個數列就叫等差數列(arithmetic sequence)，這個常數叫作等差數列的公差(common difference)，公差一般用字母\(d\)表示

第\(n\)項的值

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

前\(n\)項的和

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

\[ = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

證實：

\[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \dots + [a_1 + (n - 1)d] \]

\[S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \dots + [a_n - (n - 1)d]\]

上加下得

\[2S_n = n(a_1 + a_n)\]

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

因爲\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

所以

\[S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

等比數列

通常的，若是一個數列從第\(2\)項起，每一項與它前一項的比等於同一常數， 那麼這個數列叫作等比數列(geometric sequence)，這個常數叫作等比數列的公比(common ratio)，
公比經常使用字母\(q\)表示(\(q \not = 0\))

第\(n\)項的值

\(a_n = a_1 q^{n - 1}\)

前\(n\)項的和

\[S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} (q \ne 1)\]

\[ = \frac{a_1 - a_nq}{1 - q} (q \ne 1)\]

證實:

\[S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\]

\[S_n = a_1 + a_1d + a_1 d^2 + \dots + a_1 d^{n - 1}\]

兩邊同乘\(d\)

\[dS_n = a_1d + a_1d^2 + a_1 d^3 + \dots + a_1 d^n\]

上減下得

\[(1 - d)S_n = a_1 - a_1d^n\]

\[S_n = \frac{a_1 - a_1d^n}{1 - d}\]

因爲\[a_n = a_1 d^{n - 1}\]

所以

\[S_n = \frac{a_1 - a_n d}{1 - d}\]