Algorithm(1) - Karatsuba multiplication

這個系列主要是記一下目前效率較高或者比較出名的一些算法.

Karatsuba multiplication:

x=5678   then: a=56  b=67

y=1234           c=12 d=34

setps:

1:   a*c = 672    ①

2:   b*d=2652   ②

3:  (a+b)(c+d)=6164  ③

4:  ③-②-①=2840

5:  6720000 + 2652+284000 = 7006652

Recursive algorithm:

whrite: x= 10^n/2 a+b   y= 10 ^n/2 c+d

then x*y = 10ⁿac+10^n/2(ad+bc)+bd   這裏，咱們須要作4次乘法，在計算機中的cost並不理想，因此用到一個

Gauss's trick:

step1: recursively compute ac

step2： recurisively compute bd

step3: recurisively compute (a+c)*(c+d)  then

ad+bc = (a+c)*(c+d) - ac - bd

upshot:only 3 recursive multiply calls. 

note： 這裏的n表示位數， 好比x是6位數，n=6， n/2=3，若是x=7，則n/2取4.

保留一個問題，這個是我比較困惑的， 若是x和y位數相差比較大這個算法還能不能用， 好比x是7位數，y是三位數，但願大神解答!

在計算機裏，少作一次乘法的效率會提升很多，對於給定的n位大數，算法的複雜度不超過3n^log3 ≈ 3n^1.585, 通常給定N位數，複雜度是n平方。