迪菲-赫爾曼密鑰交換

迪菲-赫爾曼密鑰交換（英語：Diffie-Hellman key exchange，縮寫爲D-H）

迪菲-赫爾曼密鑰交換是在美國密碼學家惠特菲爾德.迪菲和馬丁.赫爾曼的合做下發明的，發表於1976年。它是第一個實用的在非保護信道中建立共享密鑰（英語：Shared secret）方法。它受到了瑞夫.墨克的關於公鑰分配工做的影響。

迪菲－赫爾曼經過公共信道交換一個信息，就能夠建立一個能夠用於在公共信道上安全通訊的共享祕密（shared secret）。

如下解釋它的過程（包括算法的數學部分）：

其中g,p,A,B是公開在網絡上傳輸的，a和b是祕密的。

最先提出的這個協議使用一個素數p的整數模n乘法羣以及其原根g。下面展現這個算法，綠色表示非祕密信息, 紅色粗體表示祕密信息：

 

 

算法理論證實

對上面Alice和Bob祕鑰交換問題的解釋（下面用A與B分別表示兩人）
首先A: a^k1 mod b ≡ c （例子中a=5,b=23）
B: a^k2 mod b ≡ d
以後二人交換所得c和d，再次進行運算，咱們有
A: d^k1 mod b ≡ c^k2 mod b :B
等價於
A:(a^k2 mod b )^k1 mod b ≡ (a^k1 mod b)^k2 mod b :B

下面咱們對上式進行證實，先證實一個引理
假設有 a mod b ≡ n ,則 a^k mod b ≡ n^k mod b
由於 a mod b ≡ n ,則必然存在惟一整數q使得 a=qb+n（帶餘除法基本定理）
則 a^k=(qb+n)^k= ……（二項式定理展開）
兩邊同時除以b，咱們發現等式右邊（二項式展開部分）除去項n^k外，b的次數都大於零
因此除以b的餘數必然由n^k這一項產生
因此 a^k mod b ≡ n^k mod b
引理證畢

因此(a mod b)^k= n^k
因而(a mod b)^k mod b ≡ n^k mod b ≡ a^k mod b

因此對於任意的k1,k2 都有下式成立
(a^k1 mod b)^k2 mod b ≡ (a^k1)^k2 mod b ≡(a^k2 mod b)^k1 mod b

 

補充：二項式展開

(qb+n)^k= C(k,0)(qb)^k

+C(k,1)(qb)^(k-1)*n

+C(k,2)(qb)^(k-2)*n^2

+...

+C(k,k-2)(qb)^2*n^(k-2)

+ C(k,k-1)(qb)*n^(k-1)

+C(k,k)n^k

 

參考資料

wikipedia

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%AA%E8%8F%B2-%E8%B5%AB%E7%88%BE%E6%9B%BC%E5%AF%86%E9%91%B0%E4%BA%A4%E6%8F%9B

網易公開課

http://open.163.com/movie/2012/10/K/N/M99VIFJA6_M9EDSGQKN.html