一些結論

整理一些結論。

 

一、關於組合數

 $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

$C_n^m = C_n^{m-1} + C_{n-1}^{m-1}$

$C^0_n+C^1_n+C^2_n+...+C^{n-1}_n+C^n_n=2^n$

$C_n^m ≡ C_{n/p}^{m/p} \cdot C_{n\%p}^{m\%p} \ (mod\ p),p爲質數$

 

二、二項式定理

$(a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^n C_n^i a^{n-i}b^i = C_n^0 a^n + C_n^1a^{n - 1}b + C_n^2a^{n - 2}b^2 + ... + C_n^{n - 1}ab^{n-1} + C_n^nb^n$

三、burnside引理和Polya定理

設$G=\{p_1,p_2,…,p_k\}$是目標集[1,n]上的置換羣。則本質不一樣的方案數L：

$L = \frac{1}{|G|}[c(p_1)+c(p_2)+...+c(p_i)]$

$c(p_i)$表示在置換$p_i$下長度爲1的循環的個數，即不動點的個數，通過此置換後不變。

 

設G是n個對象的一個置換羣, 用m種顏色染圖這n個對象，則不一樣的染色方案數爲：

$L = \frac{1}{|G|}(m^{c(p_1)}+m^{c(p_2)}+...+m^{c(p_k)})$

$c(p_i)$ 表示置換 $pi$ 的循環節數

1 2 3 4 5 6

2 3 1 5 4 6

循環節爲3，(1 2 3) (4 5) (6)

 

三、

$2 \times \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i+1}^{n}a_i \times a_j = {(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i) ^2 - \sum\limits_{i=1}^{n}a_i ^2}$ 

 

四、泰勒公式

 

五、求導公式

複合函數求導法則：

$h(x) = f(g(x))$

$h'(x)=f'(g(x)) \times g'(x)$

對外函數求導，對內函數求導，二者相乘。

六、經常使用生成函數

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \cdots$

$\frac{a}{1-x} = a + ax + x ^ 2 + ax ^ 3 + \cdots$

$\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x ^ 4 + x ^ 6 + \cdots$

$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x +3 x ^ 2 +4 x ^ 3 + \cdots$

七、兩點之間的次短路

求S出發的最短路和從T出發的最短路，枚舉每條邊，次短路必定在dis1[u]+w+dis[v]中。

八、等差數列求和公式

設首項爲$a_1$ , 末項爲$a_n$, 項數爲$n$ , 公差爲$d$ , 前$n$項和爲$S_n$ , 則有:

$a_n = a_1 + (n - 1)$

$S_n = n \times a_1 + \frac{n \times (n - 1)\times d}{2}$

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$

八、等比序列求和公式

公式中$a_1$爲首項，$a_n$爲數列第n項，$q$爲等比數列公比，$S_n$爲前n項和。

$a_n = a_1 \times q^{n - 1}$

$S_n = n \times a_1 \ \ (q = 1)$

$S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{a_1 - a_n \times q}{1 - q} \ \ (q \neq 1 )$

九、莫隊的神奇排序方法

bool operator < (const Que &A,const Que &B) {
      return bel[A.l] < bel[B.l] || (bel[A.l] == bel[B.l] && ((bel[A.l] & 1) ? A.r < B.r : A.r > B.r));
}

 

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