Codeforces.1029D.Isolation(DP 分塊)

題目連接

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\(Description\)

給定長爲\(n\)的序列\(A_i\)和一個整數\(K\)。把它劃分紅若干段，知足每段中剛好出現過一次的數的個數\(\leq K\)。求方案數。
\(K\leq n\leq10^5\)。

\(Solution\)

設\(f[i]\)表示前\(i\)個數的答案，\(g[j]\)表示\(j\sim i\)剛好出現過一次的數的個數。有\[f[i]=\sum_{j\leq i,\ g[j]\leq K}f[j-1]\]

記\(las_i\)爲\(A_i\)上次出現的位置下標。每次\(i\)移動時，\(g[j]\)的變化就是，\([las_i+1,i]\)區間\(+1\)，\([las_{las_i}+1,las_i]\)區間\(-1\)。
也就是要動態修改\(g[j]\)，求\(g[j]\leq K\)的\(f[j-1]\)的和。

數據結構什麼的很差搞。考慮直接分塊。
一種最簡單的想法是，塊內sort後維護前綴和，查詢的時候二分。複雜度\(O(n\sqrt n\log(\sqrt n))\)（注意確實是\(\log(\sqrt n)\)），但過不去。

設\(s[i][j]\)表示第\(i\)塊中，\(g[k]\leq j\)的\(f[k]\)的和，\(tag[i]\)表示第\(i\)塊的總體修改標記。
考慮區間修改。對於整塊直接打標記。對於零散部分，由於只是\(+1\)，容易發現對於第\(i\)塊，只有\(s[i][g[j]]\)的值改變了，且只是少掉了\(f[j-1]\)（\(j\)是影響到的下標，顯然能夠暴力枚舉）。那麼能夠暴力更新\(s[i]\)。
對於整塊的查詢，假設是第\(i\)塊，須要知足\(j+tag[i]\leq k\)，即\(j\leq k-tag[i]\)，那麼\(s[i][k-tag[i]]\)就是答案了。
那麼這樣就能夠啦。

其實還能夠優化。
把每一個修改拆成前綴修改，即：\([1,i]\)區間\(+1\)，\([1,las_i]\)區間\(-2\)，\([1,las_{las_i}]\)區間\(+1\)。
這樣有什麼好處呢。設\(i\)所在的塊爲\(p\)。那麼對\(p\)塊零散部分暴力修改，對\(1\sim p-1\)塊統一打上標記\(tag\)。
能夠發現這樣\(s[i][j]\)的第二維是\(O(\sqrt n)\)級別的（只有同塊內的會影響它，其它值都打到\(tag\)上了）！也就是空間只須要\(O(n)\)就夠了。
並且若是咱們把詢問也拆成前綴的形式（其實原本就是前綴），那\(tag\)徹底不須要直接打到\(1\sim p-1\)上，只須要在\(p\)上打就能夠了。查詢的時候維護一個\(tag\)的後綴和便可。
這樣設塊大小爲\(B\)，修改複雜度就只有\(O(B)\)，查詢複雜度仍是\(O(B+\frac nB)\)，可是某些修改比較多查詢比較少的題目就能夠調整\(B\)的大小解決啦。
雖然在這題複雜度依舊是\(O(n\sqrt n)\)，可是常數不知道優秀到了哪裏去。

中間過程（包括查詢啊=-=）\(s\)的第二維多是負的，但絕對值在\(\sqrt n\)內。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define B 150
#define mod 998244353
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=1e5+5,M=N/B+3;

int bel[N],f[N],g[N],tag[M],s[M][B+3<<1];

inline int read()
{
    int now=0;register char c=gc();
    for(;!isdigit(c);c=gc());
    for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
    return now;
}
void Update(int p,int v)
{
    int *s=::s[bel[p]];
    for(int i=B; i<=B<<1; ++i) Add(s[i],v);
}
void Modify(int p,int v)
{
    int bel=::bel[p],*s=::s[bel];
    tag[bel]+=v;
    for(int i=bel*B+1; i<=p; ++i)
    {
        if(v==1) Add(s[g[i]+B],mod-f[i-1]);
        else Add(s[g[i]-1+B],f[i-1]), Add(s[g[i]-2+B],f[i-1]);
        g[i]+=v;
    }
}
int Query(int p,int K)
{
    int bel=::bel[p],sum=tag[bel]; LL res=0;
    for(int i=bel*B+1; i<=p; ++i) g[i]<=K&&(res+=f[i-1]);
    while(bel--)
    {
//      assert(sum>=0);
//      if(sum<=K) res+=s[bel][std::min(B<<1,K-sum+B)];//WA:sum may be >K
        if(std::abs(sum-K)<=B) res+=s[bel][K-sum+B];
        else if(sum<K) res+=s[bel][B<<1];
        sum+=tag[bel];
    }
    return res%mod;
}

int main()
{
    static int las[N],pre[N];
    int n=read(),K=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) bel[i]=(i-1)/B;
    f[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int a=read(); las[i]=pre[a], pre[a]=i;
        Update(i,f[i-1]), Modify(i,1);
        if(las[i])
        {
            Modify(las[i],-2);
            if(las[las[i]]) Modify(las[las[i]],1);
        }
        f[i]=Query(i,K);
    }
    printf("%d\n",f[n]);

    return 0;
}