D. Regular Bridge 解析(思維、圖論)

Codeforce 550 D. Regular Bridge 解析(思維、圖論)

今天我們來看看CF550D
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題目
給你一個\(k\le100\)，請構造出一個至少有一個Bridge的，每個點的degree都是\(k\)的無向圖。

前言

學到了Handshaking Lemma

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想法

首先既然要有一個Bridge，我們就從已經有一個Bridge的圖開始構造。
可能會發現到\(k=2\)無解，而\(k=3\)(\(k\)是奇數)有如下這個解(我一開始根本沒想到):
首先只考慮Bridge的一邊，然後必然有\(k-1=2\)條邊連出去，接著我們再多連出去一個點(2---4,3---5)，然後\(leaf(點4,5)\)連到右方全部還沒滿的點，接著\(leaf\)再兩兩連起來。

接著證明當\(k\mod 2=0\)時無解:首先只考慮Bridge的一邊，接著我們會發現連接Bridge的那個點的度數是\(k-1\)，是奇數，而其餘點的度數都是\(k\)，是偶數。根據Handshaking Lemma，無解。(若是不知道這個Lemma也能夠直接證明不存在，只是比較繁瑣)

程式碼:

const int _n=1e6+10;
int t,n,k; 
vector<PII> e;
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>k;if(k%2==0){cout<<"NO\n";return 0;}
  rep(i,2,k+1)e.pb({1,i});rep(i,k+1,2*k)rep(j,2,k+1)e.pb({i,j});
  for(int i=k+1;i<=2*k-2;i+=2)e.pb({i,i+1});
  cout<<"YES\n"<<4*k-2<<' '<<2*SZ(e)+1<<'\n';
  rep(i,0,SZ(e))cout<<e[i].fi<<' '<<e[i].se<<'\n';
  rep(i,0,SZ(e))cout<<e[i].fi+2*k-1<<' '<<e[i].se+2*k-1<<'\n';
  cout<<1<<' '<<2*k<<'\n';
  return 0;
}

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