基數排序

　　基數排序（Radix Sorting），又稱 桶排序（bucket sorting）是以前的各種排序方法徹底不一樣的一中排序方法，在以前的排序方法中，主要是經過元素之間的比較和移動兩種操做來實現排序的。基數排序不須要進行元素之間的比較，而是根據關鍵字的每一個位上的有效數字的值，藉助「分配」和 「收集」兩種操做來進行排序的一中內部排序方法。

　　在具體介紹基數排序算法前，首先先介紹兩個兩個關鍵詞：單關鍵字和多關鍵字。序列中任一記錄的關鍵字均有 d 個份量 k_i⁰  k_i¹  …… k_i^d-1 構成，若 d 個份量中每一個份量都是一個獨立的關鍵字，則文件是多關鍵字的（如撲克牌有兩個關鍵字：點數和花色、漢子的筆畫和拼音）；不然是文件時單關鍵字的（如數值和字符串）。在多關鍵字的排序中，每一個關鍵字都能決定記錄的大小，如撲克牌的花色黑桃比花色方片大；在花色相同的狀況下，在比較點數的大小，如紅桃 9 比紅桃 8 大。 k_i^j (0<= j < d) 是關鍵字中的其中一位（如字符串，十進制整數等）。多關鍵字中的每一個關鍵字的取值範圍通常不一樣，如撲克牌的花色取值只有 4 種，而點數則有 13 種。對於單關鍵字序排列能夠利用多關鍵字排序的方法，只是單關鍵字的每位通常取值範圍相同。

　　在介紹一下基數的概念。設單關鍵字的每一個份量的取值範圍均爲 C₀ <= k_j<= C_rd-1 (0 <= j <=d)，則每一個記錄中份量的可能取值的個數 rd 稱爲基數。基數的選擇和關鍵字的分解因關鍵字的類型而異：

　　（1）若關鍵字是十進制整數，則按個、十等位進行分解，基數 rd = 10， C₀ = 0，C₉ = 9， d 爲最長整數的位數；

　　（2）若關鍵字是小寫的由於字符串，則 rd = 26，C₀ = 'a' ，C₂₅ = 'z'，　d爲字符串的最大長度。

　　（3）在撲克牌花色和點數的排序中，花色的基數 rd₁ = 4 ，而點數的 rd₂ = 13， d 同時使用撲克牌的副數。

　　

　

　　基數排序時一種藉助於過關鍵字排序的思想，將單關鍵字按基數分紅「多關鍵字」進行排序的方法。好比字符串 "abcd"  "acsc"  "dwsc"  "rews" 就能夠把每一個字符當作一個關鍵字，另外還有整數 425 、32一、23五、432也能夠將每一個位上的數字做爲一個關鍵字。

 

　　通常狀況下，假定有一包含 n 個對象的序列 { V₀ , V₁ , …… ,V_n-1  } ，且每一個對象 V_i   中包含 d 個關鍵字 ( k_i¹ ,k_i² , …… ，k_i^d  )， 若是對於序列中任意兩個對象 V_i  和 V_j    (0 <= i < j <= n - 1 ) 都知足： ( k_i¹ ,k_i² , …… ，k_i^d  ) < ( k_j¹ ,k_j² , …… ，k_j^d  ) ，則稱序列對關鍵字 ( k¹ ,k² , …… ，k^d  )  有序。其中，k¹  稱爲最高位關鍵字，k²  稱爲次高位關鍵字， k^d  稱爲 最低位關鍵字。

　　基數排序方法有兩種：最高位優先法（MSD：Most Significant Digit First）和最低位優先法（LSD：Least Significant Digit First）。

　　最高位優先法，簡稱MSD法：即先按 k¹ 排序分組，同一組中記錄的關鍵字 k¹ 相等，在對各組按  k² 分紅子組，以後對其餘的關鍵字繼續這樣的排序分組，直到按最次位關鍵字  k^d  對各子組排序後。再將各組鏈接起來，獲得一個有序序列。

　　最低位優先法，簡稱LSD法： 即先從 k^d 開始排序，在對  k^d-1 進行排序，一次重複，直到對 k¹ 排序後便獲得一個有序序列。  

 

 

　　如今已下面的序列爲例簡述一下 MSD 方法和 LSD方法： ead, bed, dad, add, bee, abc, dbe, dae, cda, eba, ccd    共 n = 11 個字符串

　　　　上面的每一個字符串每一個字符串包含 3 個字符，所以 d = 3， 這些字符的取值 爲 { a, b, c, d, e}  共 5 種取值， rd = 5

　　　　【注：這是針對這個例子而言 rd = 5，字符串的 rd 通常爲 26 】

　　　　MSD 方法的排序過程以下：　　　

　　　　　　第一個字母排序: 將第一個字母相同的元素放在同一個隊列，咱們就能夠獲得：

　　　　　　　　　　第一個字母　　　　元素

　　　　　　　　　　　　a　　　　　　add　　abc

　　　　　　　　　　　　b　　　　　　bed　　bee

　　　　　　　　　　　　c　　　　　　cda　　ccd

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　dad　　dbe　　dae

　　　　　　　　　　　　e　　　　　　ead　　eda

　　　　　　第二個字母排序：將上述隊列中元素，第二個字母相同的元素放在同一個隊列中，咱們能夠獲得

　　　　　　　　　　第一個字母　　　第二個字母　　　　元素

　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　b　　　　　　abc

　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　d　　　　　　add

　　　　　　　　　　　　b　　　　　　　　e　　　　　　bed　　bee

　　　　　　　　　　　　c　　　　　　　　c　　　　　　ccd

　　　　　　　　　　　　c　　　　　　　　d　　　　　　cda

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　　　a　　　　　　dad　　dae

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　　　b　　　　　　dbe

　　　　　　　　　　　　e　　　　　　　　a　　　　　　ead

　　　　　　　　　　　　e　　　　　　　　b　　　　　　eba

　　　　　　第三個字母排序：將上述隊裏中的元素，第三個字母相同的元素放在同一個隊列中，咱們能夠獲得

　　　　　　　　　　第一個字母　　　第二個字母　　　　第三個字母　　　元素

　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　b　　　　　　　　c　　　　　abc

　　　　　　　　　　　　a　　　　　　　　d　　　　　　　　d　　　　　add

　　　　　　　　　　　　b　　　　　　　　e　　　　　　　　d　　　　　bed

　　　　　　　　　　　　b　　　　　　　　e　　　　　　　　e　　　　　bee

　　　　　　　　　　　　c　　　　　　　　c　　　　　　　　d　　　　　ccd

　　　　　　　　　　　　c　　　　　　　　d　　　　　　　　a　　　　　cda

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　　　a　　　　　　　　d　　　　　dad

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　　　a　　　　　　　　e　　　　　dae

　　　　　　　　　　　　d　　　　　　　　b　　　　　　　　e　　　　　dbe

　　　　　　　　　　　　e　　　　　　　　a　　　　　　　　d　　　　　ead

　　　　　　　　　　　　e　　　　　　　　b　　　　　　　　a　　　　　eba

　　　　　　因爲每一個欄中只有一個元素，故從上到下鏈接起來就獲得有序隊列： abc, add, bed, bee, ccd, cda, dad, dae, dbe, ead, eba

 

　　　　使用LSD排序過程以下：

　　　　首先根據第三個字母排序，字母相同的放在一塊兒，獲得序列： cda, eba, abc, ead, bed, dad, add, ccd, bee, dbe, dae

　　　　而後對獲得的序列根據第二個字母排序獲得：ead, dad, dae, eba, abc, dbe, ccd, cda, add, bed, bee

　　　　最後獲得的序列根據第一個字母排列獲得：  abc, add, bed, bee, ccd, cda, dad, dae, dbe, ead, eba

 

　　 咱們能夠看出使用LSD排序方法排序結果和 MSD排序方法是同樣的，只是排序過程當中元素交換次序有些區別。MSD 是對在上一次分配好的隊列（或初始序列）中對元素進行分配排序，每一次分配的元素愈來愈少，總數不變，可是分配次數增長；LSD是對上一次分配獲得的序列，收集後再進行分配排序，每一次分配元素和次數均相同。　

 

 

　　上面講得是關於基數排序的基本思路和方法，下面咱們以另一個例子講一下基數排序的實現過程。

 　　咱們以數值爲例，先假定每一個數值 只有兩位，所以數值包括 d = 2 個份量， 每一個數值的取值範圍是 0 ~ 9 ，共 rd = 10 種，如數值：

　　　　　　73， 22， 93， 43， 55， 14， 28， 65， 39，81

　　首先根據個位數的數值，對每一個數值查詢最末位的值，將它們分配到編號0 ~ 9 的隊列中

　　

　　　　個位數　　　 　數值

　　　　　0　　　　　　

　　　　　1　　　　　　81 

　　　　　2　　　　　　22　　　　　　

　　　　　3　　　　　　43　93　73

　　　　　4　　　　　　14

　　　　　5　　　　　　65　55

　　　　　6　　　　　　

　　　　　7

　　　　　8　　　　　　28

　　　　　9　　　　　　39

 　　將上面的隊裏的數值從新串起來，若是是鏈式隊列的話，這個過程將會很是簡單，只要把指針鏈接起來就行了。咱們獲得新的序列：

　　　　81， 22， 43， 93， 73， 14， 65， 55， 28， 39

　　 接着對十位進行一次分配，咱們能夠獲得下面的結果：　　

　　　　十位數　　　 　數值

　　　　　0　　　　　　

　　　　　1　　　　　　14 

　　　　　2　　　　　　22　28　　　　　

　　　　　3　　　　　　39

　　　　　4　　　　　　43

　　　　　5　　　　　　55

　　　　　6　　　　　　65

　　　　　7　　　　　　73

　　　　　8　　　　　　81

　　　　　9　　　　　　93

　　咱們將這些隊列中的數值從新串起來，獲得序列： 14， 22， 28， 39， 43， 55， 65， 73， 81， 93

　　這個時候整個序列已經排序完畢，若是排序的對象有三位數以上，則繼續進行以上的動做直至最高位爲止。

　　LSD的基數排序使用與位數小的數列，若是位數多的話，使用MSD的效率會比較好，MSD的方式剛好 與LSD相反，由最高位爲基底進行分配其餘的演算方式都相同。

　　對於記錄的長度不一樣的序列，經過在記錄前面加上相應數據類型最低位來進行處理，如數值類列前加0，字符串類型前加空字符。

          

　　參考代碼：（這是以LSD方式實現的）

 

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 #define MAX_NUM 80
 4 
 5 int main(int argc, char* argv[])
 6 {
 7     int data[MAX_NUM];   // 存儲數據 
 8     int temp[10][MAX_NUM];  // 隊列表 
 9     int order[10]={    0};   // 用於記錄隊列的信息 
10     
11     int n;    // 待排序個數 
12     int i,j,k;  // 用於排序 
13     int d;  // 用於表示待排序輸的位數 
14     int lsd;  // 用於記錄某位的數值 
15     
16     k = 0;
17     d = 1;
18     
19     printf("輸入須要排序的個數(<=80),待排序數(<10000): ");
20     scanf("%d",&n);
21 
22     if( n > MAX_NUM ) n = MAX_NUM;
23     
24     for(i = 0; i < n;i++)
25     {
26         scanf("%d",&data[i]);
27         data[i] %= 10000;
28     }
29         
30     
31     while(d <= 10000)
32     {
33         for(i = 0; i < n; i++)
34         {
35             lsd = (data[i]/d)%10;
36             temp[lsd][order[lsd]] = data[i];
37             order[lsd]++;
38         }
39         
40         printf("\n從新排列：");
41         
42         for(i = 0; i < 10; i++ )
43         {
44             if(order[i]!=0)
45             {
46                 for(j = 0; j < order[i]; j++ )
47                 {
48                     data[k] = temp[i][j];
49                     printf("%d ",data[k]);
50                     k++;
51                 }
52             }
53             order[i] = 0;
54         }
55         
56         d *= 10;
57         k = 0;
58     }
59     
60     printf("\n 排序後：");
61     for(i = 0; i <n; i++)
62         printf("%d ",data[i]);
63     printf("\n");
64     
65 
66 
67     return 0;
68 }

View Code

　　

　　代碼運行結果如下面的數值列爲例：  125 11 22 34 15 44 76 66 100 8 14 20 2 5 1  共 15 個元素

　　運行截圖：

　　

 

　　基數排序算法的效率和穩定性

　　對於 n 個記錄，執行一次分配和收集的時間爲O(n+r)。若是關鍵字有 d 位，若是關鍵字有 d 位，則要執行 d 遍。 因此總的運算時間爲 O(d(n+r))。可見不一樣的基數 r 所用時間是不一樣的。當 r 或 d 較小時，這種算法較爲節省時間。上面討論的是順序表的基數排序，這個算法一樣也是用與鏈式的記錄排序，只是要求額外附加一下隊列的頭、尾指針。因此附加的存儲量爲 2r 個存儲單元。待排序的記錄以鏈表形式存儲的，相對於順序表，只是額外增長了 n 個指針域的空間。

　　基數排序在分配過程當中，對於相同關鍵字的記錄而言保持原有順序進行分配，故基數排序時穩定的排序方法。

　　

　　

 

　　注：主要參考彭軍、向毅主編的 《數據結構與算法》