淺談範德蒙德(Vandermonde)方陣的逆矩陣的求法以及快速傅里葉變換(FFT)中IDFT的原理

淺談範德蒙德(Vandermonde)方陣的逆矩陣與拉格朗日(Lagrange)插值的關係以及快速傅里葉變換(FFT)中IDFT的原理

標籤： 行列式 矩陣 線性代數 FFT 拉格朗日插值

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只要稍微看過一點線性代數的應該都知道範德蒙德行列式。
\[V(x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1})=\begin{bmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{0}^2}&{x_{1}^2}&{\cdots}&{x_{n-1}^2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {x_{0}^{n-1}}&{x_{1}^{n-1}}&{\cdots}&{x_{n-1}^{n-1}}\\ \end{bmatrix} \]
而範德蒙德行列式因爲其自己的特殊性，具備通項公式:
\[V(x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1})=\prod _{n > i > j \geq 0}(x _{i}-x _{j})\]

咱們一樣能夠把行列式中的項寫到矩陣中來，即範德蒙德方陣
\[V=\begin{pmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{0}^2}&{x_{1}^2}&{\cdots}&{x_{n-1}^2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {x_{0}^{n-1}}&{x_{1}^{n-1}}&{\cdots}&{x_{n-1}^{n-1}}\\ \end{pmatrix}\]

考慮範德蒙德方陣的逆矩陣，咱們能夠藉助伴隨矩陣來計算。
對於\(V\)的伴隨矩陣\(V^*\)
\[(V^*)_{ij}=c_{ij}\]
其中\(c_{ij}\)爲\(V\)的代數餘子式
有\(V^{-1}={V* \over det(V)}\)
那麼對於每一項，有\((V^{-1})_{ij}={c_{ij} \over det(V)}\)
咱們只須要知道每個代數餘子式其與行列式的商便可。
而然這種方法比較複雜，尤爲對於缺失了一行的範德蒙德行列式難以計算，而本文的重點並不在此，若是想找詳細的證實能夠去看這篇博客Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式
最後能夠獲得
\[(V^{-1})_{ij}=(-1)^{j+1}{ \sum\limits_{0 \leq p_1<\cdots < p_{n-j} < n;\ p_1,p_2,\cdots p_{n-j} \ne i} x_{p_1} x_{p_2} \cdots x_{p_{n-j}} \over \prod\limits_{0 \leq k < n;\ k\ne i} (x_k-x_i)} \]

上面的方法太過複雜，接下來咱們考慮範德蒙德方陣的實際意義進行思考。
從新審視方陣，發現乘上一個範德蒙德方陣至關於帶進了\(n\)個點進行求值，即
\[{\begin{pmatrix} {a_0}\\ {a_1}\\ {a_2}\\ {\vdots}\\ {a_{n-1}}\\ \end{pmatrix} }^T\begin{pmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{0}^2}&{x_{1}^2}&{\cdots}&{x_{n-1}^2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {x_{0}^{n-1}}&{x_{1}^{n-1}}&{\cdots}&{x_{n-1}^{n-1}}\\ \end{pmatrix}={ \begin{pmatrix} {y_0}\\ {y_1}\\ {y_2}\\ {\vdots}\\ {y_{n-1}} \end{pmatrix}}^T \]
至關於有多項式\(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_ix^i\),其中\(y_i=f(x_i)\)
乘上範德蒙德方陣至關於帶入\(n\)個點求值，反過來，乘上其逆矩陣就應該是用\(n\)個點插值。
即
\[{\begin{pmatrix} {a_0}\\ {a_1}\\ {a_2}\\ {\vdots}\\ {a_{n-1}}\\ \end{pmatrix}}^T ={\begin{pmatrix} {y_0}\\ {y_1}\\ {y_2}\\ {\vdots}\\ {y_{n-1}} \end{pmatrix}}^T \begin{pmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{0}^2}&{x_{1}^2}&{\cdots}&{x_{n-1}^2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {x_{0}^{n-1}}&{x_{1}^{n-1}}&{\cdots}&{x_{n-1}^{n-1}}\\ \end{pmatrix}^{-1} \]

那麼咱們考慮拉格朗日插值，有
\[f(x)=\sum_{i}y_i\prod_{j\ne i} {x-x_j \over x_i-x_j} \]
顯然，\((V^{-1})_{ij}\)爲\(\prod\limits_{k\ne i} {x-x_k \over x_i-x_k}\)在\(x^{j-1}\)項的係數。

快速傅立葉變換的核心思想也是將係數向量迅速變換爲點值向量，再迅速的將點值向量還原成係數向量，其中還原的操做咱們稱之爲\(IDFT\)。
用\(1\)的\(n\)次復根\(w\),若是沒有特別說明，如下本文中的\(w\)都爲\(e^{2\pi \over n}\)
在作快速傅立葉變換的時候，咱們乘上了一個\(V(w_0,w_1,\cdots,w_{n-1})\)的矩陣。
而在\(IDFT\)時，咱們須要乘上\(V(w_0,w_1,\cdots,w_{n-1})^{-1}\)，可是在實際應用中，咱們會直接乘上$ {1 \over n}V(w_0,w_{-1},\cdots,w_{-n+1}) $。接下來筆者將證實這兩個矩陣是相同的。（固然咱們默認n爲2的次冪）

\[\prod\limits_{j\ne i} {(x-w^j) \over (w^i-w^j)}={\prod\limits_{j\ne i} (x-w^j) \over \prod\limits_{j\ne i} (w^i-w^j)}\]

不妨令\[G(x)=\prod_{0 \leq j < n} (x-w^j)\]
而\(w^{0},w^1,\cdots,w^{n-1}\)都是1的n次復根，根據代數基本定理，顯然有\[G(x)=x^n-1\]
那麼考慮原式分母\[\prod\limits_{j\ne i} (w^i-w^j) = \lim _{x \to w^i}{G(x) \over {x-w^i}}\]
根據洛必達法則，這個極限的值至關於上下部分求導的商。
\[ \lim _{x \to w^i}{G(x) \over {x-w^i}}=\lim _{x \to w^i} G'(x)=n \times w^{i(n-1)}=n \times w^{-i}\]

原式分子
\[{\prod\limits_{j\ne i} (x-w^j)}={G(x) \over {x-w^i}}={1-x^n \over {w^i-x}}\\ =w^{-i} \times \begin{pmatrix}{1 \over 1- x w^{-i}}-{x^n \over 1-xw^{-i}}\end{pmatrix}\\ =w^{-i} \times \begin{pmatrix}{\sum_{j=0}^{\infty} w^{-ij}x^j -\sum_{j=n}^{\infty} w^{-i(j-n)}x^j} \end{pmatrix}\\ =w^{-i} \times \sum_{j=0}^{n-1} w^{-ij} x^j \]

分子除以分母，得
\[原式={w^{-i} \times \sum\limits_{j=0}^{n-1} w^{-ij} x^j \over n \times w^{-i}}\\ =\sum_{j=0}^{n-1} {w^{-ij} \over n}x^j\]
對比各項係數，不可貴出兩矩陣相同，即
\[\begin{pmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {1}&{w^{1}}&{\cdots}&{w^{n-1}}\\ {1}&{w^{2}}&{\cdots}&{w^{(n-1)2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {1}&{w^{n-1}}&{\cdots}&{w^{(n-1)(n-1)}}\\ \end{pmatrix}^{-1} ={1 \over n}\begin{pmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {1}&{w^{-1}}&{\cdots}&{w^{-(n-1)}}\\ {1}&{w^{-2}}&{\cdots}&{w^{-(n-1)2}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\ {1}&{w^{-(n-1)}}&{\cdots}&{w^{-(n-1)(n-1)}}\\ \end{pmatrix} \]