數據結構4——並查集（入門）

1、問題引入

原題：杭電hdu1232暢通工程 

題意：首先在地圖上給你若干個城鎮，這些城鎮均可以看做點，而後告訴你哪些對城鎮之間是有道路直接相連的。最後要解決的是整幅圖的連通性問題。好比隨意給你兩個點，讓你判斷它們是否連通，或者問你整幅圖一共有幾個連通分支，也就是被分紅了幾個互相獨立的塊。像暢通工程這題，問還須要修幾條路，實質就是求有幾個連通分支。若是是1個連通分支，說明整幅圖上的點都連起來了，不用再修路了；若是是2個連通分支，則只要再修1條路，從兩個分支中各選一個點，把它們連起來，那麼全部的點都是連起來的了；若是是3個連通分支，則只要再修兩條路……

說明：輸入4 2   1 3   4 3。即一共有4個點，2條路。下面兩行告訴你，一、3之間有條路，四、3之間有條路。那麼整幅圖就被分紅了1-3-4和2兩部分。只要再加一條路，把2和其餘任意一個點連起來，暢通工程就實現了，那麼這個這組數據的輸出結果就是1。好了，如今編程實現這個功能吧，城鎮有幾百個，路有不知道多少條，並且可能有迴路。 這可如何是好？ 我之前也不會呀，自從用了並查集以後，嗨，效果還真好！

 

2、故事描述

並查集由一個整數型的數組和兩個函數構成。數組pre[]記錄了每一個點的前導點是什麼，函數find是查找，函數join是合併。

話說江湖上散落着各式各樣的大俠，有上千個之多。他們沒有什麼正當職業，成天揹着劍在外面走來走去，碰到和本身不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個優勢就是講義氣，絕對不打本身的朋友。並且他們信奉「朋友的朋友就是個人朋友」，只要是能經過朋友關係串聯起來的，無論拐了多少個彎，都認爲是本身人。這樣一來，江湖上就造成了一個一個的羣落，經過兩兩之間的朋友關係串聯起來。而不在同一個羣落的人，不管如何都沒法經過朋友關係連起來，因而就能夠放心往死了打。可是兩個本來互不相識的人，如何判斷是否屬於一個朋友圈呢？ 咱們能夠在每一個朋友圈內推舉出一個比較有名望的人，做爲該圈子的表明人物，這樣，每一個圈子就能夠這樣命名「齊達內朋友之隊」「羅納爾多朋友之隊」……兩人只要互相對一下本身的隊長是否是同一我的，就能夠肯定敵友關係了。 可是還有問題啊，大俠們只知道本身直接的朋友是誰，不少人壓根就不認識隊長，要判斷本身的隊長是誰，只能漫無目的的經過朋友的朋友關係問下去：「你是否是隊長？你是否是隊長？」 這樣一來，隊長面子上掛不住了，並且效率過低，還有可能陷入無限循環中。因而隊長下令，從新組隊。隊內全部人實行分等級制度，造成樹狀結構，我隊長就是根節點，下面分別是二級隊員、三級隊員。每一個人只要記住本身的上級是誰就好了。遇到判斷敵友的時候，只要一層層向上問，直到最高層，就能夠在短期內肯定隊長是誰了。因爲咱們關心的只是兩我的之間是否連通，至於他們是如何連通的，以及每一個圈子內部的結構是怎樣的，甚至隊長是誰，並不重要。因此咱們能夠聽任隊長隨意從新組隊，只要不搞錯敵友關係就行了。因而，門派產生了。　　

下面咱們來看並查集的實現。 int pre[1000];  這個數組，記錄了每一個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。若是一我的的上級就是他本身，那說明他就是掌門人了，查找到此爲止。也有孤家寡人自成一派的，好比歐陽鋒，那麼他的上級就是他本身。每一個人都只認本身的上級。好比胡青牛同窗只知道本身的上級是楊左使。張無忌是誰？不認識！要想知道本身的掌門是誰，只能一級級查上去。 find這個函數就是找掌門用的，意義再清楚不過了（路徑壓縮算法先不論，後面再說）。

int find(int x)                        //查找x的掌門
{
    int r=x;                           //委託 r 去找掌門
    while(pre[r] != r)                 //若是r的上級不是r本身（也就是說找到的大俠他不是掌門 = =）
    	r = pre[r] ;                   // r 接着找他的上級，直到找到掌門爲止。
    return  r ;                        //掌門駕到~~~
}

再來看看join函數，就是在兩個點之間連一條線，這樣一來，原先它們所在的兩個板塊的全部點就均可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就好了。但咱們如今是用並查集來描述武林中的情況的，一共只有一個pre[]數組，該如何實現呢？ 仍是舉江湖的例子，假設如今武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我很是喜歡的兩我的物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個陣營了。我不但願他們互相打架，就對他倆說：「大家兩位拉拉勾，作好朋友吧。」他們看在個人面子上，贊成了。這一讚成可非同小可，整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這麼重大的變化，可如何實現呀，要改動多少地方？其實很是簡單，我對玄慈方丈說：「大師，麻煩你把你的上級改成滅絕師太吧。這樣一來，兩派原先的全部人員的終極boss都是師太，那還打個球啊！反正咱們關心的只是連通性，門派內部的結構沒關係的。」玄慈一聽確定火大了：「我靠，憑什麼是我變成她手下呀，怎麼不反過來？我抗議！」抗議無效，上天安排的，最大。反正誰加入誰效果是同樣的，我就隨手指定了一個。這段函數的意思很明白了吧？　　

void join(int x,int y)                     //我想讓虛竹和周芷若作朋友
{
    int fx=find(x), fy=find(y);             //虛竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是滅絕
    if(fx != fy)                             //玄慈和滅絕顯然不是同一我的
    	pre[fx]=fy;                       //方丈只好委委屈屈地當了師太的手下啦
}

再來看看路徑壓縮算法。創建門派的過程是用join函數兩我的兩我的地鏈接起來的，誰當誰的手下徹底隨機。最後的樹狀結構會變成什麼樣，我也徹底沒法預計，一字長蛇陣也有可能。這樣查找的效率就會比較低下。最理想的狀況就是全部人的直接上級都是掌門，一共就兩級結構，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能徹底作到，也最好儘可能接近。這樣就產生了路徑壓縮算法。 設想這樣一個場景：兩個互不相識的大俠碰面了，想知道能不能揍。 因而趕忙打電話問本身的上級：「你是否是掌門？」 上級說：「我不是呀，個人上級是誰誰誰，你問問他看看。」 一路問下去，原來兩人的最終boss都是東廠曹公公。 「哎呀呀，原來是記己人，西禮西禮，在下三營六組白麪葫蘆娃!」 「幸會幸會，在下九營十八組仙子狗尾巴花！」 兩人高高興興地手拉手喝酒去了。 「等等等等，兩位同窗請留步，還有事情沒完成呢！」我叫住他倆。 「哦，對了，還要作路徑壓縮。」兩人醒悟。 白麪葫蘆娃打電話給他的上級六組長：「組長啊，我查過了，其習偶們的掌門是曹公公。不如偶們一塊兒直接拜在曹公公手下吧，免得級別過低，之後查找掌門麻環。」 「唔，有道理。」 白麪葫蘆娃接着打電話給剛纔拜訪過的三營長……仙子狗尾巴花也作了一樣的事情。 這樣，查詢中全部涉及到的人物都彙集在曹公公的直接領導下。每次查詢都作了優化處理，因此整個門派樹的層數都會維持在比較低的水平上。路徑壓縮的代碼，看得懂很好，看不懂也不要緊，直接抄上用就好了。總之它所實現的功能就是這麼個意思。

 

3、算法描述

關鍵特徵：

①用集合中的某個元素來表明這個集合，該元素稱爲集合的表明元；

②一個集合內的全部元素組織成以表明元爲根的樹形結構；

③對於每個元素 pre[x]指向x在樹形結構上的父親節點。若是x是根節點，則令pre[x] = x；

④對於查找操做，假設須要肯定x所在的的集合，也就是肯定集合的表明元。能夠沿着pre[x]不斷在樹形結構中向上移動，直到到達根節點。

判斷兩個元素是否屬於同一集合，只須要看他們的表明元是否相同便可。

路徑壓縮：  

爲了加快查找速度，查找時將x到根節點路徑上的全部點的pre（上級）設爲根節點，該優化方法稱爲壓縮路徑。使用該優化後，平均複雜度可視爲Ackerman函數的反函數，實際應用中可粗略認爲其是一個常數。

用途：

一、維護無向圖的連通性。支持判斷兩個點是否在同一連通塊內，和判斷增長一條邊是否會產生環。

二、用在求解最小生成樹的Kruskal算法裏。

通常來講，一個並查集對應三個操做：初始化+查找根結點函數+合併集合函數

【初始化】

包括對全部單個的數據創建一個單獨的集合（即根據題目的意思本身創建的最多可能有的集合，爲下面的合併查找操做提供操做對象）。

在每個單個的集合裏面，有三個東西。

①集合所表明的數據（這個初始值根據須要本身定義，不固定） ；

②這個集合的層次一般用rank表示（通常來講，初始化的工做之一就是將每個集合裏的rank置爲1）；

③這個集合的類別pre（其實就是一個指針，用來指示這個集合屬於那一類，合併事後的集合，他們的pre指向的最終值必定是相同的） （有的簡單題裏面集合的數據就是這個集合的標號，也就是說只包含2和3，1省略了）。

初始化的時候，每個集合的pre都是這個集合本身的標號。沒有跟它同類的集合，那麼這個集合的源頭只能是本身了。

最簡單的集合就只含有這三個東西了，固然，複雜的集合就是把3指針這一項添加內容，如PKU食物鏈那題，咱們還能夠添加enemy指針，表示這個物種集合的天敵集合；food指針，表示這個物種集合的食物集合。隨着指針的增長，並查集操做起來也變得複雜，題目也就顯得更難了。

數組表示法

設置不少相同大小的數組，如：

int pre[max];	//集合index的類別，或者用parent表示 
int rank[max];	//集合index的層次，一般初始化爲0 
int data[max];	//集合index的數據類型  
//初始化集合 
void Make_pre(int i) 
{     
	pre[i]=i;	//一個集合的pre都是這個集合本身的標號。沒有跟它同類的集合，那麼這個集合的源頭只能是本身了。  
	rank[i]=0; 
}

【查找函數】

就是找到pre指針的源頭，能夠把函數命名爲find_pre，若是集合的pre等於集合的編號（即尚未被合併或者沒有同類），那麼天然返回自身編號。 若是不一樣（即通過合併操做後指針指向了源頭（合併後選出的rank高的集合））那麼就能夠調用遞歸函數，以下面的代碼：

//查找集合i（一個元素是一個集合）的源頭（遞歸實現）
int Find_pre(int i)
{ 
    //若是集合i的父親是本身，說明本身就是源頭，返回本身的標號
   if(pre[i]==i)
       return pre[i];
    //不然查找集合i的父親的源頭
    return  Find_pre(pre[i]);        
}

【合併集合函數】

這就是所謂並查集的並了。至於怎麼知道兩個集合是能夠合併的，那就是題目的條件了。先看代碼：

void Union(int i,int j)
{
    i=Find_pre(i);
    j=Find_pre(j);
    if(i==j) return ;
    if(rank[i]>rank[j]) pre[j]=i;
    else
    {
        if(rank[i]==rank[j]) rank[j]++;   
        pre[i]=j;
    }
}

 

4、代碼實現

#define N 105
int pre[N];		//每一個結點 
int rank[N]; 	//樹的高度 
//初始化
int init(int n)		//對n個結點初始化 
{
	for(int i = 0; i < n; i++){
		pre[i] = i;		//每一個結點的上級都是本身 
		rank[i] = 1;	//每一個結點構成的樹的高度爲1 
	} 
}

int find_pre(int x)		//查找結點x的根結點 
{
	if(pre[x] == x){		//遞歸出口：x的上級爲x自己，即x爲根結點 
		return x;		
	}
	return find_pre(pre[x]);	//遞歸查找 
} 

//改進查找算法：完成路徑壓縮，將x的上級直接變爲根結點，那麼樹的高度就會大大下降 
int find_pre(int x)		//查找結點x的根結點 
{
	if(pre[x] == x){		//遞歸出口：x的上級爲x自己，即x爲根結點 
		return x;		
	}
	return pre[x] = find_pre(pre[x]);	//遞歸查找  此代碼至關於 先找到根結點rootx，而後pre[x]=rootx 
} 


bool is_same(int x, int y)		//判斷兩個結點是否連通 
{
	return find_pre(x) == find_pre(y);	//判斷兩個結點的根結點（亦稱表明元）是否相同 
}

void unite(int x,int y)
{
	int rootx, rooty;
	rootx = find_pre(x);
	rooty = find_pre(y);
	if(rootx == rooty){
		return ;
	}
	if(rank(rootx) > rank(rooty)){
		pre[rooty] = rootx;			//令y的根結點的上級爲rootx 
	}
	else{
		if(rank(rootx) == rank(rooty)){
			rank(rooty)++;
		}
		pre[rootx] = rooty;
	}
} 

 

後記：寫到這裏，並查集只是入了門，還有一些知識點在下篇文章——並查集（進階）中講解。