由HashMap哈希算法引出的求餘%和與運算&轉換問題

一、引出問題

　　在前面講解 HashMap  的源碼實現時，有以下幾點：

　　①、初始容量爲 1<<4，也就是2⁴ = 16

　　

　　②、負載因子是0.75，當存入HashMap的元素佔比超過整個容量的75%時，進行擴容，並且在不超過int類型的範圍時，進行2次冪的擴展(指長度擴爲原來2倍)

　　

　　擴大一倍

　　

　　③、新添加一個元素時，計算這個元素在HashMap中的位置，也就是本篇文章的主角 哈希運算。分爲三步：

　　第一步：取 hashCode 值： key.hashCode()

　　第二步：高位參與運算：h>>>16

　　第三步：取模運算：(n-1) & hash

1     static final int hash(Object key) {
2         int h;
3         return (key == null) ? 0 : (h = key.hashCode()) ^ (h >>> 16);
4     }
5 
6     tab[i = (n - 1) & hash]；

　　ps：第 6 行代碼是我本身加的。

　　咱們知道一個好的 哈希算法可以使得元素分佈的更加均勻，從而減小哈希衝突。HashMap 在這塊的處理就很巧妙：

　　首先第一步取得 hashCode，該方法是一個用native修飾的本地方法，返回的是一個 int 類型的值（根據內存地址換算出來的一個值），一般咱們都會重寫該方法。

　　第二步將取得的哈希值無符號右移16位，高位補0。並與前面第一步得到的hash碼進行按位異或^ 運算。這樣作有什麼用呢？這其實也是擾動函數，爲了下降哈希碼的衝突。右位移16位，正好是32bit的一半，高半區和低半區作異或，就是爲了混合原始哈希碼的高位和低位，以此來加大低位的隨機性。並且混合後的低位摻雜了高位的部分特徵，這樣高位的信息也被變相保留下來。也就是保證考慮到高低Bit位都參與到Hash的計算中。

　　有興趣的能夠看看JDK1.7中，實際上是作了4次擾動，在JDK1.8中只作了一次，我猜想是爲了在下降衝突的同時保證效率。

　　

　　本文的重點是第三步，將通過前面兩步獲取的 hash 值，與HashMap的集合長度減 1 進行按位與 & 運算：(n-1) & hash。可是其實不少哈希算法，爲了使元素分佈均勻，都是用的取模運算，用一個值去模上總長度，即 n%hash。咱們知道在計算機中 & 的效率比 % 高不少，那麼如何將 % 轉換爲 & 運算呢？在HashMap 中，是用的 (n - 1) & hash 進行運算的，那麼這是爲何呢？

　　這就是本篇博客咱們將要明白的問題。

二、結論

　　咱們先給出結論：

　　當 lenth = 2ⁿ 時，X % length = X & (length - 1)

　　也就是說，長度爲2的n次冪時，模運算 % 能夠變換爲按位與 & 運算。

　　好比：9 % 4 = 1，9的二進制是 1001 ,4-1 = 3,3的二進制是 0011。 9 & 3 = 1001 & 0011 = 0001 = 1

　　再好比：12 % 8 = 4,12的二進制是 1100,8-1 = 7,7的二進制是 0111。12 & 7 = 1100 & 0111 = 0100 = 4

　　上面兩個例子4和8都是2的n次冪，結論是成立的，那麼當長度不爲2的n次冪呢？

　　好比：9 % 5 = 4，9的二進制是 1001，5-1 = 4,4的二進制是0100。9 & 4 = 1001 & 0100 = 0000 = 0。顯然是不成立的。

　　爲何是這樣？下面咱們來詳細分析。

三、分析過程

　　首先咱們要知道以下規則：

　　①、"<<" 左移：右邊空出的位上補0，左邊的位將從字頭擠掉，左移一位其值至關於乘2。

　　②、">>"右移：右邊的位被擠掉，右移一位其值至關於除以2。對於左邊移出的空位，若是是正數則空位補0，若爲負數，可能補0或補1，這取決於所用的計算機系統。

　　③、">>>"無符號右移，右邊的位被擠掉，對於左邊移出的空位一律補上0。

　　根據二進制數的特色，相信你們很好理解。

　　對於給定一個任意的十進制數X_nX_n-1X_n-2....X₁X₀，咱們將其用二進制的表示方法分解：

　　X_nX_n-1X_n-2....X₁X₀   = X_n*2ⁿ+X_n-1*2^n-1+......+X₁*2¹+X₀*2⁰                       3-1公式

　　這裏的十進制數只有三位，同理當有N位時，後面2的冪次方依次從 0 開始遞增到 N 。

　　回到上面的結論： lenth = 2ⁿ 時，X % length = X & (length - 1)

　　以及對於除法，被除數是知足分配率的（除數不知足）：

　　成立：（a+b）÷c=a÷c+b÷c                                                                          3-2公式

　　不成立：a÷（b+c）≠a÷c+b÷c

　　經過 3-1公式以及 3-2 公式，咱們能夠得出當任意一個十進制除以一個2^k的數時，咱們能夠將這個十進制轉換成3-1公式的表示形式：

　　(X_nX_n-1X_n-2....X₁X₀)  / 2^k   =  (X_n*2ⁿ+X_n-1*2^n-1+......+X₁*2¹+X₀*2⁰) / 2^k = X_n*2ⁿ /  2^k +X_n-1*2^n-1 /  2^k  +......+  X₁*2¹ /  2^k + X₀*2⁰ /  2^k

　　若是咱們想求上面公式的餘數，相信你們一眼就能看出來：

　　①、當 0<= k <= n 時，餘數爲 X_k*2^k+X_k-1*2^k-1+......+X₁*2¹+X₀*2⁰   ,也就是說 比 k 大的 n次冪，咱們都舍掉了（大的都能整除 2^k），比k小的咱們都留下來了(小的不能整除2^k)。那麼留來下來即爲餘數。

　　②、當 k > n 時，餘數即爲整個十進制數。

　　看到這裏，咱們離證實結論已經很近了。再回到上面說的二進制的移位操做，向右移 n 位，表示除以 2ⁿ 次方，由此咱們獲得一個很重要的結論：

　　一個十進制數對一個2ⁿ 的數取餘，咱們能夠將這個十進制轉換爲二進制數，將這個二進制數右移n位，移掉的這 n 位數便是餘數。

　　知道怎麼算餘數了，那麼咱們怎麼去獲取這移掉的 n 爲數呢？

　　咱們再看2⁰,2¹,2²....2ⁿ  用二進制表示以下：

　　0001，0010，0100，1000，10000......

　　咱們把上面的數字減一：

　　0000，0001，0011，0111，01111......

　　根據與運算符&的規律，當位上都是 1 時，結果纔是 1，不然爲 0。因此任意一個二進制數對 2^k 取餘時，咱們能夠將這個二進制數與（2^k-1）進行按位與運算，保留的即便餘數。

　　這就完美的證實了前面給出的結論：

　　當 lenth = 2ⁿ 時，X % length = X & (length - 1)

　　注意，必定要是2ⁿ次方，才知足上面的公式，不然就是錯誤的。

四、總結

　　經過上面的分析過程了，咱們完美了證實了公式的正確性。在回到 HashMap 的實現過程，咱們知道HashMap的初始容量爲啥是 1<<4 了吧，並且每次擴容都是擴大一倍。由於必需要完美的知足 hash 算法。