淺談算法——splay
BST（二叉查找樹）是個有意思的東西，種類巨TM多，而後咱們今天不講其餘的，咱們今天就講splayphp
首先，若是你不知道Splay是啥，你也得知道BST是啥ios
如上圖就是一棵優美的BST，它對於每一個點保證其左子樹內全部點小於本身，右子樹內全部點大於本身，並且這棵樹高只有\(\log n\)，因此找一個點只須要\(O(\log n)\)的時間數據結構
可是若是這個圖長得極端一點就會變成這樣……函數
這棵樹就很是的不優美，每次查找的複雜度爲\(O(n)\)，而後就\(O(n^2)\)了……優化
而後各類大佬們爲了解決這個藍瘦的事情，紛紛想出了一些解決方案，其中有個叫Tarjan的大佬，弄出了一個名叫Splay的玩意，而後咱們來說一下Splay的一些操做ui
1.旋轉
旋轉式BST（Splay是其中的一種）基本上都有此操做，否則不叫做旋轉式，像fhqtreap那種非旋轉式BST則沒有該操做。網上大部分將旋轉分爲兩個，ZIG與ZAG
感受這張圖一點都不清楚。。。實際上是我懶得畫一張了
左邊到右邊的是ZIG(x)，右邊到左邊是ZAG(y)
ZIG和ZAG的結合也有幾種狀況
你發現它們這樣轉來轉去，這棵樹依然知足BST性質的，並且上圖ZIG-ZAG操做中，還減小了樹的高度，因此旋轉式BST就是基於ZIG，ZAG以及組合操做，經過不斷旋轉自身來保證其樹高，使得其很是優美spa
可是，寫4個旋轉實在是太麻煩了，因而咱們將其簡化爲一個函數3d
首先咱們須要明白，splay的旋轉操做只會影響到3個點
將x旋到根以後，其父親和其兒子會如上圖般變化，其餘點都不會受到影響。那麼這個旋轉如何用一個函數來實現呢？code
#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
void move(int x){
int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
tree[x][T(x)^1]=fa;
tree[fa][T(x)]=son;
if (son) f[son]=fa;
f[x]=f[fa];
if (f[x]) tree[f[x]][T(fa)]=x;
f[fa]=x;
}
首先記錄一下當前點的父親，和其拐角後的兒子節點（先無論有沒有父親和兒子），而後將x的兒子改爲fa，把fa的兒子改爲son（記得改爲拐角狀）。blog
而後判斷son是否存在，若存在，則f[son]=fa。
將x的父親指向fa的父親，無論fa的父親是否存在（f[x]爲零也能夠）。
而後判斷是否真正有f[x]（連邊以後的父親），若是有，那麼將f[x]的兒子指向x，因爲此時f[x]和fa的關係未斷，所以能夠直接用T(fa)，最後將fa的父親指向x便可。
而後咱們來看個有意思的東西
如今咱們要把\(x\)旋到根上去，而後按照以前的旋轉方法就有
而後咱們把圖中的一條鏈標記出來
也就是說你只對着\(x\)旋轉的話，頗有可能被卡，因此咱們就要進行一些優化，咱們在旋轉的時候進行討論，若是x-y-z在同一直線上，咱們就先旋y再旋x，不然直接旋x，這個方法就是雙旋，代碼實現也很是簡單
通常來說，單旋速度優於雙旋，但容易被卡（你能夠試着畫一跳長鏈，而後分別用雙旋和單旋將鏈底的點旋上來，而後看一下樹的形態）
void splay(int x){
while (f[x]){
if (f[f[x]]) T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
move(x);
}
root=x;
}
Attention:move函數中的#define，對於以後的函數一直有效
2.插入
插入一個點的時候，從根節點找起，看要插入的點是要插在當前點的左邊仍是右邊，若是要插在某一邊且那一邊恰好空着，就直接加進去便可，不然繼續找。最後把插入的點splay到根，維護平衡
void insert(int x){
val[++len]=x;
if (!root){
size[root=len]=1;
return;
}
int i=root;
while (true){
size[i]++;
if (x<=val[i]){
if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
i=ls(i);
}else{
if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
i=rs(i);
}
}
splay(len);
}
3.找前驅/後繼
因爲splay是一棵BST，所以找前驅的話，咱們只須要找root的左兒子中，最右邊的葉子節點；後繼同理
int get_pre(){
int x=ls(root);
while (rs(x)) x=rs(x);
return x;
}
int get_suc(){
int x=rs(root);
while (ls(x)) x=ls(x);
return x;
}
4.查詢
因爲splay是棵二叉樹，記錄一下size以後即可以很容易找到排第k個的數是誰了
int find(int x,int i){
if (!i) return 0;
if (size[ls(i)]+1==x) return i;
if (x<=size[ls(i)]) return find(x,ls(i));
return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}
5.刪除
在經過某些特殊的方法獲得須要刪除的點的編號後（特殊方法什麼的根據題意來），現將該點splay到根，若是左右兒子有一個空了，那麼直接將那個沒空的挪上來就好；不然就將其前驅/後繼旋上來，而後判斷一下x是new_root的左兒子仍是右兒子，將x相應方向的兒子和new_root創建新的關係便可
void Delete(int x){
splay(x);
if (!(ls(x)&&rs(x))){
f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
clear(x);
return;
}
int i=get_pre();
splay(i);
size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
clear(x);
}
6.區間操做
多了區間操做的splay，爲了防止越界，咱們能夠在最前面和最後面加上兩個不動點，每次須要對區間[l,r]進行修改時，咱們先把編號爲l的點splay到根，再把編號爲r+2的點splay到根，在旋的時候，l可能會變成r+2的孫子，咱們把l單旋一下便可。這樣子的話，l的左兒子就爲咱們須要求的那段區間了。
雙旋的時候，2可能會變成5的孫子，那麼咱們把2單旋一下便可
splay的基本操做也就這些，下面咱們來說講一個例題
例題
Tyvj 1728 普通平衡樹
Description
您須要寫一種數據結構（可參考題目標題），來維護一些數，其中須要提供如下操做：
- 插入x數
- 刪除x數(如有多個相同的數，因只刪除一個)
- 查詢x數的排名(如有多個相同的數，因輸出最小的排名)
- 查詢排名爲x的數
- 求x的前驅(前驅定義爲小於x，且最大的數)
- 求x的後繼(後繼定義爲大於x，且最小的數)
Input
第一行爲n，表示操做的個數,下面n行每行有兩個數opt和x，opt表示操做的序號(1<=opt<=6)
Output
對於操做3,4,5,6每行輸出一個數，表示對應答案
Sample Input
10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
Sample Output
106465
84185
492737
HINT
1.n的數據範圍：n<=100000
2.每一個數的數據範圍：[-2e9,2e9]
splay經典板子題，用到以前說的全部操做。刪點的話，先找排名，而後找點刪除。至於查詢排名，因爲BST的優美性質，因此判斷一下往左右遞歸便可
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void write(int x){
if (x>=10) write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
struct Splay{
#define ls(x) tree[x][0]
#define rs(x) tree[x][1]
#define T(x) (rs(f[x])==x)
int tree[N+10][2],f[N+10],size[N+10],val[N+10],root,len;
void updata(int x){size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
void clear(int x){f[x]=size[x]=ls(x)=rs(x)=0;}
void move(int x){
int fa=f[x],son=tree[x][T(x)^1];
tree[x][T(x)^1]=fa;
tree[fa][T(x)]=son;
if (son) f[son]=fa;
f[x]=f[fa];
if (f[x]) tree[f[x]][T(fa)]=x;
f[fa]=x;
updata(fa),updata(x);
}
void splay(int x){
while (f[x]){
if (f[f[x]]) T(x)==T(f[x])?move(f[x]):move(x);
move(x);
}
root=x;
}
int get_pre(){
int x=ls(root);
while (rs(x)) x=rs(x);
return x;
}
int get_suc(){
int x=rs(root);
while (ls(x)) x=ls(x);
return x;
}
void Delete(int x){
splay(x);
if (!(ls(x)&&rs(x))){
f[root=ls(x)+rs(x)]=0;
clear(x);
return;
}
int i=get_pre();
splay(i);
size[f[rs(i)=rs(x)]=i]--;
clear(x);
}
void insert(int x){
val[++len]=x;
if (!root){
size[root=len]=1;
return;
}
int i=root;
while (true){
size[i]++;
if (x<=val[i]){
if (!ls(i)){f[ls(i)=len]=i;break;}
i=ls(i);
}else{
if (!rs(i)){f[rs(i)=len]=i;break;}
i=rs(i);
}
}
splay(len);
}
int find(int x,int i){
if (!i) return 0;
if (size[ls(i)]+1==x) return i;
if (x<=size[ls(i)]) return find(x,ls(i));
return find(x-size[ls(i)]-1,rs(i));
}
int get_rank(int x){
int res=0;
for (int i=root;i;) val[i]<x?res+=size[ls(i)]+1,i=rs(i):i=ls(i);
return res+1;
}
void DELETE(int x){Delete(find(get_rank(x),root));}
void GETRANK(int x){printf("%d\n",get_rank(x));}
void RANK_GET(int x){printf("%d\n",val[find(x,root)]);}
void GET_PRE(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x)-1,root)]);}
void GET_SUC(int x){printf("%d\n",val[find(get_rank(x+1),root)]);}
}Tree;
int main(){
int n=read();
for (int i=1;i<=n;i++){
int flag=read(),x=read();
if (flag==1) Tree.insert(x);
if (flag==2) Tree.DELETE(x);
if (flag==3) Tree.GETRANK(x);
if (flag==4) Tree.RANK_GET(x);
if (flag==5) Tree.GET_PRE(x);
if (flag==6) Tree.GET_SUC(x);
}
return 0;
}
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