振動學基礎提綱

時間 2019-12-01

標籤振動基礎提綱简体版

原文原文鏈接

目錄函數

振動學基礎

振動學基礎

&11.1 簡諧振動的描述

簡諧振動定義

概念：離開平衡位置的位移（或角位移）按餘弦函數（或正弦函數）的規律變化的運動

動力學定義：質點在與其對平衡位置的位移成正比而反向的線性回覆力做用下的運動就是簡諧運動

運動學特徵：簡諧振動的加速度與位移從成正比而反向

簡諧運動表達式

公式：

\[ x=A\cos(\omega t+\varphi) \]spa

各物理量的意義

振幅_A：表示簡諧振動的物體離開平衡位置的最大位移

角頻率_$\omega$：表示物體在$2\pi$時間內往復振動的次數，也稱圓頻率

週期_T：振動往復一次所經歷的時間

振動頻率_v：單位時間振動往復的次數

初相_$\varphi $：初始時刻（t=0）振動系統的運動狀態

週期物理量的轉化關係：

\[ T=\frac{2\pi}{\omega}\\v=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\\\omega=2\pi v \]blog

簡諧運動的速度與加速度

速度公式：

\[ v=v_m\cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})\\【v_m=\omega A】 \]圖片

加速度公式：

\[ a=a_m\cos(\omega t+\varphi+\pi)=-\omega^2x\\【a_m=\omega^2A】 \]get

簡諧運動的相位

相位_($\omega x+\varphi$)：決定簡諧振動運動狀態的物理量

相位差_$\Delta \varphi=\varphi_2-\varphi_1$

相位差特徵：

同向：$\Delta \varphi=0+2k\pi,\quad k\in Z$

反向：$\Delta \varphi=\pi+2k\pi,\quad k\in Z$

旋轉矢量法

角度：當前時刻相位

半徑：振幅

參考圓：對應的圓周

&11.2 簡諧振動的動力學特徵

動力學定義

定義：振動過程當中，物體所受合外力與它相對於平衡位置的位移成正比而反向

線性回覆力：所受的合外力

公式：

\[ F=-kx\quad【k爲勁度係數】 \]it

動力下的各物理量

角頻率/固有頻率_$\omega $：

\[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \]class

固有周期_T：

\[ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]容器

振幅_A：

\[ A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \]基礎

初相_$\varphi$：

\[ \varphi=\arctan\left( -\frac{v_0}{\omega x_0} \right) \]擴展

簡諧運動實例

在小角度擺動的狀況下，單擺的振動是簡諧振動

\[ \omega =\sqrt{\frac{g}{l}}\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

簡諧振動的能量

\[ E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2 \]

&11.3 簡諧運動的合成

同頻率同方向簡諧運動的合成

合振動的振幅：
\[ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} \]

若兩個振動同相位，合振幅最大，$A=A_1+A_2$

若兩個振動反相位，合振幅最小，$A=|A_1-A_2|$

合振動的初相：
\[ \tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \]

異頻率同方向簡諧運動的合成

拍的概念

合振動其振幅週期性變化的現象

推導

$x_1=Acos\omega_1t=Acos2\pi \upsilon_1t$

$x_2=Acos\omega_2t=Acos2\pi \upsilon_2t$

運用和差化積公式轉化：

\[ x=x_1+x_2=2Acos2\pi\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}t·cos2\pi\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}t \]

振幅項：$2Acos2\pi\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}t$

振動項（諧振因子）：$cos2\pi\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}t$

相關參數

調製頻率：$\frac{\omega_2-\omega_1}{2}$

載頻：$\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

拍頻

概念：合振幅變化的頻率

公式：兩分振動之差，即$v=v_2-v_1$

拍音

兩個頻率差很小的音叉同時振動時，會有時高時低的嗡嗡之聲

異頻率垂直向簡諧運動的合成

李薩如圖形

圖形形狀

應用：對未知的波進行頻率和相位的測量

&11.4 阻尼振動

振動類型

等幅振動：簡諧振動

阻尼振動（減幅振動）：摩擦阻尼、輻射阻尼

黏性：流體分子在不停地進行着不規則的熱運動，不論流體是靜止狀態仍是流動狀態。這種不規則的熱運動會使不一樣流層中的氣體質量進行交換，而流體各層速度不一樣的話，鄰層的兩個流體分子的動量也不一樣。鄰層之間既有質量交換，必有動量交換。快層流體分子因爲熱運動跑到慢層流體分子中，便從快層流動帶走一份動量到慢層流動裏，從而加快了慢層流體流動；反之，慢層流體分子因爲熱運動跑到快層流體分子中，便從慢層流動帶走一份動量到快層流動裏，從而減慢了快層流體流動。因此，黏度只決定於分子的熱運動速度，而流體的溫度正是分子熱運動的動能的一個直接標誌，所以同一流體的黏度只決定於流體的溫度，而與壓強無關。液體和睦體的動力黏性係數隨溫度變化的趨勢相反，由於它們產生黏性的物理緣由不一樣，前者主要來自於液體分子間的內聚力，黏度與溫度成正比；後者主要來自於氣體分子的熱運動，黏度與溫度成反比。

黏性物質中物體運動方程

推導：

介質對物體的阻力有：

\[ F_r=-\gamma v=-\gamma\frac{dx}{dt} \]

積分得物體運動方程：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt} \]

令$\omega^2=\frac{k}{m}$，$2\beta=\frac{\gamma}{m}$：

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0 \]

微分方程的解爲：

\[ x=A_0e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0) \]

相關參數

$\omega_0$：無阻尼時振子的固有角頻率

$\beta$：阻尼

阻尼振動類型

準週期振動（欠阻尼）

特徵：$\omega_0>\beta$

週期：$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$

臨界阻尼：

特色：物體從運動到靜止在平衡位置的時間最小

特徵：$\omega_0=\beta$

過阻尼：

特徵：$\omega_0<\beta$

阻尼曲線

&11.5 受迫振動共振

受迫振動

定義：對振動系統施加一個週期外力，其所發生的振動

驅動力：此週期性外力，下列推導簡單記爲$F=F_0\cos\omega t$

運動方程：
\[ x=A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)+A\cos(\omega t+\varphi) \]

暫態項：$A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)$

穩定項：$A\cos(\omega t+\varphi)$

方程振動參數：
\[ A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\\\varphi=\arctan\frac{-2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2} \]

特色：

受迫振動的角頻率不是振子的固有角頻率，而是驅動力的角頻率；A（穩態受迫振動的振幅）和（穩態受迫振動與驅動力的相位差）均與初始條件無關，而與驅動力的頻率、幅值$F_0$及阻尼等因素有關

共振

振幅達到最大值時

角頻率：$\omega _r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$

振幅：$A_r=\frac{f_0}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$

位移共振：位移振幅達到最大值

速度共振：驅動力頻率正好等於系統固有頻率

位移振動的相位落後驅動力$\frac{\pi}{2}$

速度振動與驅動力同相，使系統獲得最大的能量補充

&11.6 電磁振盪

電磁振盪：電路中電壓和電流的週期性變化

LC電路：最簡單的振盪電路，由電容器和自感線圈組成

無阻尼自由振盪：忽略電阻和輻射阻尼

特色：在LC振盪迴路中，電荷量和電流都做簡諧振動，振盪週期和頻率取決於振盪電路自己性質

振盪電路總能量：
\[ W=W_e+W_m=\frac{q_0^2}{2C}[\cos^2(\omega t+\varphi)+\sin^2(\omega t+\varphi)]=\frac{q_0^2}{2C} \]

【擴展】咱們可否藉助 LC 振盪電路發出可見光？

做者：尼古拉·特斯拉

理論上是能夠的，但不可能實現，單純從電路的知識來說，電感L的阻抗是與頻率成正比的，頻率高，感抗就大，大到必定程度就基本上沒法輸出能量了。此外，全部交流的電路都有一個時間響應，若是頻率過高，整個電路就基本上沒法工做。

通常的振盪電路頻率最高都只有MHz數量級，少許能達到GHz數量級，可是可見光的頻率必要達到THz數量級！！

從另外一個深層次角度說，首先所謂光子：它有特定的激發機制，因此有特定的內稟場相結構如：光子頻率七色頻、脈衝調製諧波譜、精細結構疊加態，也就是說：一個光子系統道首先是一種幅度調製+調相電磁波，普通LC振盪電路能產生嗎?

其次：光子特定的中心頻率很大，固然LC振盪電路的基頻是由晶體振盪器產生，因此LC振盪電路至少須要各類倍頻/分頻電路，光子能被人眼看到：這緣於光子可以對原子軌道電子實現二次激發、與光子產生諧振效應，才能對腦神經產生最大的神經刺激效應，從而產生生化腦神經感覺，普通電磁波可以對原子軌道電子實現二次激發嗎？不能的！

光子激發機制：原子軌道電子進行能級躍遷產生，有高維量子隧穿機制，因此能產生光子脈衝。電磁波產生LC電路：產生源其實是電子線路中所設置的晶體振盪電路，所謂LC電磁波輻射，是電路對晶振頻信號進行倍分頻信號，而後倍分頻信號進入LC振盪電路構成的電磁波輻射器天線高輻射阻抗產生電流，電流經過天線高輻射變頻阻抗產生電磁輻射波，因此這種電磁波輻射機制緣於電子受迫振盪，如：電耦激子輻射，它是不可能產生光脈衝那樣的結構的！

還有就是，若是電流頻率越高，會有一系列的效應，不論是不是LC電路，只要電流頻率高到必定值，都會向外輻射電磁波。或者倒過來，形象地講：「電流」就是頻率很慢的「電磁波」，咱們好不容易把用電源、導線等等的各種電學元件把「電磁波」的頻率變低，適用於咱們各種電器的須要，爲何還要反過來用增大電流頻率的方式來發光呢？這沒有意義，也很難作到。

要發光，咱們有好多其它方式，好比原子能級躍遷、熱輻射等等的，這些方式比電路振盪好的多！！

第二個問題就涉及波粒二象性了，德布羅意關係：E=hv，p=h/λ。說明了粒子性參量E、p與波動性參量v、λ的關係，也就是躍遷能量與電磁波之間的關係。至於熱輻射，通常來講就是指波長很長的紅外線，只不過它傳遞的能量大部分是以熱運動的方式被吸取的，因此咱們叫它熱輻射。

從更高的角度，只要你學的多，就會發現其實電路振盪發射電磁波與原子能級躍遷發射電磁波、熱輻射傳遞電磁波等等的各類形式本質上都有類似性，或者說根本就是同一個機制！！換句話講，原子能級之間的躍遷就是一個高頻的LC振盪電路。（你徹底能夠這樣理解，雖然仍是有點不一樣的）

歸根到底：光子有特定的結構緣於特定的激發機制、可以被人眼腦視神經最大共振響應看到任何無線電路最多隻能經過各類倍/分頻器、調幅/調相，近似模擬光子場但要能得到被人眼看到的效果是不可能的!

因此你說：咱們可否藉助LC震盪電路發出可見光？固然不可能實現了