【後綴數組之height數組】

 模板奉上

int rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n)
{
    int i,j,k=0; 
    for(i=1;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i; 
    for(i=0;i<n;height[rank[i++]]=k) 
    　　for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1];r[i+k]==r[j+k];k++) //求h[i] = height[rank[i]];
　　　　　　; 
    return; 
}

概念：

（1）height 數組：定義height[i]=suffix(SA[i-1])和suffix(SA[i])的最長公共前綴，也就是排名相鄰的兩個後綴的最長公共前綴的長度 。

（2）h[i]=height[rank[i]]，也就是suffix(i)和排序後在它前一名的後綴的最長公共前綴的長度。

（3）函數lcp(u,v)=max{i|u=v}，也就是從頭開始順次比較u和v的對應字符，對應字符持續相等的最大位置，稱爲這兩個字符串u,v的最長公共前綴的長度。

（4）LCP(i,j)：對正整數i,j 定義LCP(i,j)=lcp(Suffix(SA[i]),Suffix(SA[j])，其中i,j 均爲1至n的整數。LCP(i,j)也就是後綴數組中第i個和第j個後綴的最長公共前綴的長度。

 

性質：

（1）LCP(i,j)=min{height[k]|i+1≤k≤j}，也就是說，計算LCP(i,j)等同於詢問一維數組height[] 中下標在i+1 到j 範圍內的全部元素的最小值。

（2）對於i>1 且Rank[i]>1，必定有h[i]≥h[i-1]-1。（這條性質要好好理解！）

　　證實：設suffix(k)是排在suffix(i-1)前一名的後綴，它們的最長公共前綴是h[i-1]。

              那麼suffix(k+1)將排在suffix(i)的前面（這裏要求h[i-1]>1，若是h[i-1]≤1，原式顯然成立）而且suffix(k+1)和suffix(i)的最長公共前綴是h[i-1]-1，

              因此suffix(i)和在它前一名的後綴的最長公共前綴至少是h[i-1]-1。

              按照h[1],h[2],……,h[n]的順序計算,並利用h 數組的性質，時間複雜度能夠降爲O(n)。

　　即：

　　　rank[i-1] = q-1　suffix(k):        rabaa

　　　rank[i-1] = q　   suffix(i-1):  　 racadabrabaa         h[i-1] = 2;

　　　......

　　　rank[k-1] = p-1   suffix(k-1):     abaa

　　　rank[i] = p          suffix(i):  　    acadabrabaa         h[i] = 1 (h[i] >= h[i-1]-1 = 1;)

 

計算數組h[]

能夠令i從1循環到n（此循環中i的意義爲suffix(i)）按照以下方法依次算出h[i]：

　　若 Rank[i]=1，則h[i]=0。字符比較次數爲0。

　　若i=1或者h[i-1]≤1，則直接將Suffix(i)和Suffix(Rank[i]-1)從第一個字符開始依次比較直到有字符不相同，由此計算出h[i]。字符比較次數爲h[i]+1，不超過h[i]-h[i-1]+2。

　　不然，說明i>1，Rank[i]>1，h[i-1]>1，根據性質2，Suffix(i)和Suffix(Rank[i]-1)至少有前h[i-1]-1 個字符是相同的，因而字符比較能夠從h[i-1]開始，直到某個字符不相同，由此計算出h[i]。字符比較次數爲h[i]-h[i-1]+2。

　　可求得最後算法複雜度爲O(n)。