選球遊戲 題解———2019.10.19

選球遊戲（ game ）
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【問題描述】
華華和秀秀在玩遊戲。在他們面前有!個球排成一排，從左到右按 1 到!編號。每一個球有一
個可正可負的權值。 每一輪， 秀秀會選定一個區間[#,%]， 將編號在這個區間內的全部球的權值
加上一個值'， 或者將編號在這個區間內的全部球的權值都設爲其相反數。 華華則需從這!個球
中選出(個球來，他的得分爲這(個球的權值的乘積。
華華每次都能快快地找出得分最優的選球方案來。秀秀想了想，決定提高遊戲難度。她每
次會選定一個區間[#,%]，而後詢問華華在這個區間內選出((1 ≤ ( ≤ 10)個球的全部方案的得
分之和。
這下可把華華難倒了，因而華華找到了聰明的你。你能幫幫他嘛？
因爲全部方案的得分之和可能很大，你只須要輸出得分之和對1000000007(10 / + 7)取模
的結果（負數請加上10 / + 7變成非負數）便可。
【輸入格式】
從文件 game.in 中讀入數據。
輸入第一行包含兩個正整數!,1，分別表示球的個數和秀秀的操做條數。
接下來一行包含!個空格隔開的整數，表示每一個球初始的權值。
接下來1行，每行表示秀秀的一個操做。
若該行形如「1 # % '」，則表示秀秀將編號屬於[#,%]的全部球的權值都加上了'；
若該行形如「2 # %」，則表示秀秀將編號屬於[#,%]的全部球的權值都置爲了其相反數；
若該行形如「3 # % (」，則表示華華須要回答從[#,%]中選出(個球的全部取球方案的得分之
和。
【輸出格式】
輸出文件到 game.out 中。
對於秀秀寶寶的每個詢問操做，輸出一行，表示該詢問的答案。
【樣例輸入】
10 9
3 6 7 4 6 1 6 7 2 6
3 5 7 3
1 1 7 -9
1 2 3 5
3 2 6 1
2 5 8
3 5 7 3
2 2 3
3 1 10 2
3 1 2 2
【樣例輸出】
36
999999996
72
999999885
12
【樣例說明】
第一個詢問：6×1×6 = 36
第二個詢問：
詢問前各個球的權值爲：-6 2 3 -5 -3 -8 -3 7 2 6
2 + 3 + −5 + −3 + −8 = −11
−11 + (10 / + 7) = 999999996
第三個詢問：
詢問前各個球的權值爲：-6 2 3 -5 3 8 3 7 2 6
3×8×3 = 72

 

 

考慮用線段樹來完成此題。對於每一個節點咱們維護一個f[i](i \in [1, 10])，表示這個節點所對應區間選i個球的答案。
考慮如何合併兩個節點lc,rc。f[i] = sum（lc.f[j] * rc.f[i-j]) j \in [0,i]
對於取相反數操做，只有當i是奇數時，纔會改變f[i]的符號。
對於一段區間+c的操做，設這段區間的長度爲len，則新的f[i]爲sum (f(j) * c^{i-j} * C(len - j, i - j)) j\in [0,i] 其中C(n,m)表示n個數中選m個的組合數
這樣咱們就能夠套用區間修改區間詢問的線段樹來解決這道題了，時間複雜度爲O(c^2nlogn)

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define MOD 1000000007
#define N 100005
typedef long long LL; 
using namespace std;
struct Node {
    LL f[11];
}node[N * 4];
LL a[N], lazy1[N * 4];
bool lazy2[N * 4];
LL C[N][11];

Node merge(Node lc, Node rc) {
    Node o;
    o.f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        o.f[i] = 0;
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            o.f[i] = (o.f[i] + lc.f[j] * rc.f[i - j] % MOD) % MOD;
    }
    return o;
}

void build(int o, int l, int r) {
    if (l == r) {
        for (int i = 0; i <= 10; i++) node[o].f[i] = 0;
        node[o].f[0] = 1;
        node[o].f[1] = (a[l] % MOD + MOD) % MOD;
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(o * 2, l, mid);
    build(o * 2 + 1, mid + 1, r);
    node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]);
    return ;
}

void update1(int o, int l, int r, int c) {
    int len = r - l + 1;
    LL ff[11];
    for (int i = 0; i <= 10; i++) ff[i] = node[o].f[i];
    for (int i = 1; i <= 10; i++) {
        node[o].f[i] = 0;
        LL t = 1;
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            LL tmp = ff[i - j] * C[len - (i - j)][j] % MOD * t % MOD;
            node[o].f[i] = (node[o].f[i] + tmp) % MOD;
            t = t * c % MOD;
        }
    }
    return ;
}

void push_down(int o, int l, int r) {
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (lazy1[o]) {
        if (lazy2[o * 2])
            lazy1[o * 2] = (lazy1[o * 2] + MOD - lazy1[o]) % MOD;
        else 
            lazy1[o * 2] = (lazy1[o * 2] + lazy1[o]) % MOD;
        if (lazy2[o * 2 + 1])
            lazy1[o * 2 + 1] = (lazy1[o * 2 + 1] + MOD - lazy1[o]) % MOD;
        else 
            lazy1[o * 2 + 1] = (lazy1[o * 2 + 1] + lazy1[o]) % MOD;
        update1(o * 2, l, mid, lazy1[o]);
        update1(o * 2 + 1, mid + 1, r, lazy1[o]);
        lazy1[o] = 0;
    }
    if (lazy2[o]) {
        lazy2[o * 2] ^= 1;
        lazy2[o * 2 + 1] ^= 1;
        for (int j = 1; j <= 10; j += 2) {
            node[o * 2].f[j] = MOD - node[o * 2].f[j];
            node[o * 2 + 1].f[j] = MOD - node[o * 2 + 1].f[j];
        }
        lazy2[o] = 0;
    }
}

void modify1(int o, int l, int r, int ll, int rr, int c) {
    if (ll <= l && rr >= r) {
        if (lazy2[o]) lazy1[o] = (lazy1[o] + MOD - c) % MOD;
        else lazy1[o] = (lazy1[o] + c) % MOD;
        update1(o, l, r, c);
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    push_down(o, l, r);
    if (ll <= mid) modify1(o * 2, l, mid, ll, rr, c);
    if (rr > mid) modify1(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr, c);
    node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]);
    return ;
}

void modify2(int o, int l, int r, int ll, int rr) {
    if (ll <= l && rr >= r) {
        for (int i = 1; i <= 10; i += 2) node[o].f[i] = MOD - node[o].f[i];
        lazy2[o] ^= 1;
        return ;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    push_down(o, l, r);
    if (ll <= mid) modify2(o * 2, l, mid, ll, rr);
    if (rr > mid) modify2(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr);
    node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]);
    return ;
}

Node query(int o, int l, int r, int ll, int rr) {
    if (ll <= l && rr >= r) 
        return node[o];
    int mid = (l + r) >> 1;
    push_down(o, l, r);
    if (rr <= mid) return query(o * 2, l, mid, ll, rr);
    if (ll > mid) return query(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr);
    Node lc = query(o * 2, l, mid, ll, rr);
    Node rc = query(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr);
    return merge(lc, rc);
}

int main(int argc, char ** argv) {
    // freopen("game.in", "r", stdin);
    // freopen("game.out", "w", stdout);
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= 10; j++) 
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        scanf("%d", &a[i]);
    build(1, 1, n); 
    for (int i = 1; i <= m; i++) {

        int l, r, opt;
        scanf("%d%d%d",&opt, &l, &r);
        if (opt == 1) {
            int c;
            scanf("%d", &c);
            c = (c % MOD + MOD) % MOD;
            modify1(1, 1, n, l, r, c);
        }
        else if (opt == 2) {
            modify2(1, 1, n, l, r);
        }
        else {
            int k;
            scanf("%d", &k);
            Node o = query(1, 1, n, l, r);
            printf("%d\n", o.f[k] % MOD);
        }
    }
    return 0;
}

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