dilworth定理的通俗講解

度娘定義：在數學理論中的序理論與組合數學中，Dilworth定理根據序列劃分的最小數量的鏈描述了任何有限偏序集的寬度。其名稱取自數學家Robert P. Dilworth。

 

反鏈是一種偏序集，其任意兩個元素不可比；而鏈則是一種任意兩個元素可比的偏序集。Dilworth定理說明，存在一個反鏈A與一個將序列劃分爲鏈族P的劃分，使得劃分中鏈的數量等於集合A的基數。當存在這種狀況時，對任何至多能包含來自P中每個成員一個元素的反鏈，A必定是此序列中的最大反鏈。一樣地，對於任何最少包含A中的每個元素的一個鏈的劃分，P也必定是序列能夠劃分出的最小鏈族。偏序集的寬度被定義爲A與P的共同大小。

另外一種Dilworth定理的等價表述是：在有窮偏序集中，任何反鏈最大元素數目等於任何將集合到鏈的劃分中鏈的最小數目。一個關於無限偏序集的理論指出，在此種狀況下，一個偏序集具備有限的寬度w，當且僅當它能夠劃分爲最少w條鏈。

 

概括性證實

令P爲一有限偏序集，理論認爲P爲空集時顯然成立。假設P最少有一個元素，令a爲P中的極大值。

根據概括法，假設存在一整數k，使得偏序集

能夠被k個不相交的鏈

覆蓋，且最少存在一個大小爲k的反鏈

。顯然，

，

。令

爲

的極大值，

，

爲

中大小爲k的反鏈，令

，

爲包含

的大小爲k的反鏈。肯定任意不等的索引

，那麼

。令

，根據

的定義，

。所以，由

推斷出

。經過交換

，能夠獲得

。由此得證，A爲反鏈。

如今來討論P。首先假設，

，

。令K爲鏈

。那麼，經過選擇

，使得

不包含大小爲k的反鏈。因爲

是

中大小爲k-1的反鏈，概括推出

能夠被k-1個不相交的鏈覆蓋。所以，正如所須要證實的，P能夠被k個不相交的鏈覆蓋。其次，若是

，

，那麼因爲a是P的極大值，

爲P中大小爲k+1的反鏈。如今，P能夠被k+1個鏈

覆蓋。到此，定理所有證實結束。

  下面 正文開始（若是你上面的內容看懂了，請給我講一講，畢竟我也只是一直來自春田花花幼兒園的蒟蒻）

對於dilworth定理，個人理解就是：

在一個序列中 最長降低子序列的個數就等於其最長不降低子序列的長度

舉例：1 2 3 2 3

　　最長降低子序列：3 2-->長度爲2

　　最長上升子序列：1 2 3-->長度爲3

反之也同樣。

那麼，你明白了嗎？

反正我是明白了