UVA-108

題意

給一個N*N的int矩陣，求出全部子矩陣中的最大和。

解法：

蠻力算法（超時）：

        枚舉全部左上角起點（startRow,startCow）O(N^2)和右下角終點（endRow, endCow）O(N^2)，求出子矩陣的和O(N^2)。複雜度O（N^2）* O（N^2）* O（N^2）= O（N^6）。

解法1：

      動態規劃。

memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i][j - 1] - memo[i - 1][j - 1] + data[i][j]

其中memo[i][j]表示（0,0）到(i,j)之間的和，data[i][j]表示第i行j列的數字。

複雜度O（N^2）* O（N^2）= O(N^4)。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INT_MIN     (-2147483647 - 1) 
int main()
{
	int N, memo[101][101], ms = INT_MIN; cin >> N;
	for (int i = 0; i <= N; i++) memo[i][0] = memo[0][i] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++)  for (int j = 1; j <= N; j++)
	{
		int t; cin >> t;
		memo[i][j] = memo[i - 1][j] + memo[i][j - 1] - memo[i - 1][j - 1] + t;
	}
	for (int sr = 1; sr <= N; sr++)  for (int sc = 1; sc <= N; sc++)
	for (int er = sr; er <= N; er++)  for (int ec = sc; ec <= N; ec++)
		ms = max(ms, memo[er][ec] - memo[sr - 1][ec] - memo[er][sc - 1] + memo[sr - 1][sc - 1]);
	cout << ms << endl;
	return 0;
}

解法2：

     仍是動態規劃，只不過將二維降到一維求解。 

    枚舉全部起點的行和終點的行O(N^2) ，一維數組squashed[]記錄起點行和終點行之間的各列之和，

squashed[c] += memo[er][c]

以後對squashed數組這個一維空間上計算，至關於枚舉了起點的列和終點的列，但因爲是一維空間，所以複雜度O(N)。

總體複雜度O(N^2) * O(N) = O（N^3）。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INT_MIN     (-2147483647 - 1) 
int main()
{
	int N, memo[100][100], ms = INT_MIN; cin >> N;
	for (int i = 0; i < N; i++) for (int j = 0; j < N; j++)  cin >> memo[i][j];
	for (int sr = 0; sr < N; sr++)
	{
		int squashed[100] = {0};
		for (int er = sr, sum = INT_MIN; er < N; er++)
		{
			for (int c = 0; c < N; c++) squashed[c] += memo[er][c];
			for (int c = 0, candidate = 0; c < N; c++)
			{
				candidate += squashed[c];
				sum = max(sum, candidate);
				candidate = max(0, candidate);
			}
			ms = max(ms, sum);
		}
	}
	cout << ms << endl;
	return 0;
}